Espacio Vectorial

• n≥4

• n<4

• n=4

• n≤4

Dos subespacios F y G de V₃ son suplementarios si y solo si se verifica:

• F + G = V₃

Sean B₁ y B₂ dos bases de un espacio vectorial V. La matriz de cambio de base de B₁ a B₂ verifica que:

• Sus columnas son las coordenadas de los vectores de B₂ respecto de B₁.

• Sus columnas son las coordenadas de los vectores de B₁ respecto de B₂.

• Sus filas son las coordenadas de los vectores de B₂ respecto de B₁.

• Sus filas son las coordenadas de los vectores de B₁ respecto de B₂.

Sea S={(2,1,-3),(1,1,0),(0,1,0),(0,3,3)} un sistema de vectores de R3, entonces:

• S es una base de R³.

• S es un sistema libre.

• Existe una base de R³ que contiene al menos dos vectores de S.

Sea V(R) un espacio vectorial, si dim (V) = n, entonces:

• El máximo número de vectores linealmente independientes es n.

• Todo subconjunto F de V con n vectores es base de V(R).

• Todo sistema generador de V tiene n vectores.

Dados tres vectores no nulos del espacio vectorial V que son linealmente dependientes. Podemos asegurar:

• El subespacio vectorial que generan los tres vectores es de dimensión dos.

• Al menos uno es combinación lineal de los otros dos.

• Cualquiera de los tres es combinación lineal de los otros dos.

Sea A una matriz de rango r. Podemos afirmar que:

• A tiene tiene como mínimo r filas linealmente independientes.

• El subespacio engendrado por los vectores fila de A es de dimensión r.

• Todos los menores de A de orden r son distintos de cero.

En un sistema ligado, se verifica que:

• Todo subconjunto de él es ligado.

• Agregando otro vector es libre.

• Existe un vector que es combinación lineal de los restantes.

El vector (1, 1, 1)∈ R³ de coordenadas en la base canónica. En la base {(1,1,1),(1,2,1), (1,3,2)} será:

• (1, 1, 1)

• (1, 1, 0)

• (1, 0, 0)

Los vectores (3,4) y (1,4/3) del espacio vectorial R² son:

• linealmente independientes

• linealmente dependientes

• una base de R²

• un sistema generador de R².