Infinity

• 0

• onbepaald

• 0

• onbepaald

• 0

• onbepaald

• 0

• onbepaald

• bestaat niet

Hoeveel is x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

• 2x = 2(1 + 2 + 4 + ...)

  (A) Dus 2x = 2 + 4 + 8 + 16 + ...

  (B) Dus 2x - x = (2 + 4 + 8 + 16 + ...) - (1 + 2 + 4 + 8 + ...)

  (C) Dus x = -1 + 2 - 2 + 4 - 4 + 8 - 8 + ....

  (D) Dus x = -1

• Deze som is onbepaald.

Ok de tweede methode was dus helemaal fout. Maar waarom eigenlijk ?

• stap A

• stap B

• stap C

• stap D

Mocht je echt de oplossing toch niet op zicht zien, kan je dit vertalen naar een wiskundige limiet. Welke limiet gaat schuil achter deze oefening ?

Achilles doet een race tegen een schildpad, die 100 meter voorsprong krijgt. Hij loopt 10 keer sneller dan de schildpad.

Toch zal hij nooit winnen. Als hij de 100 meter overbrugd heeft, is de schildpad weer 10 meter verder. Wanneer Achilles die 10 meter heeft afgelegd, is de schildpad weer 1 meter verder, enz.

Haalt Achilles de schildpad inderdaad nooit in ?

• Klopt. De schildpad wint de race.

• In realiteit haalt Achilles de schildpad wel in, maar wiskundig gezien inderdaad niet.

Hoeveel is 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

• (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0

• 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ...

  = 1 - 0 - 0 - 0 - ...

  = 1

• We zeggen dat dit 0,5 is.

• Kan niet berekend worden.