3-4 中垂線與角平分線性質

中垂線性質：中垂線上任一點到兩端點距離相等

故 $$\overline{AB}=\overline{AC}$$

中垂線判別性質：

若有一點 P 到 A、B 兩點距離相等，則點 P 在 $$\overline{AB}$$ 的中垂線上

角平分線性質：角平分線上任一點到兩邊的垂直距離相等

故 $$\overline{DE}=\overline{DB}$$

角平分線的判別性質：

若 P 點到 $$\overline{AB},\ \overline{AC}$$ 的垂直距離相等，則 P 點在 $$\angle A$$ 的角平分線上

$$\overline{AE}$$

$$=\overline{BE}$$

$$=\overline{CB}-\overline{CE}$$

$$=12-5=7$$

$$\Delta ACE$$ 的周長

$$=\overline{CA}+\overline{CE}+\overline{EA}$$

$$=\overline{CA}+\overline{CE}+\overline{EB}$$

$$=\overline{CA}+\overline{CB}$$

$$=13+15=28$$

$$\overline{BC}$$

$$=\overline{BE}+\overline{CE}$$

$$=\overline{AE}+\overline{CE}$$

$$=\Delta ACE$$ 周長 $$-\overline{AC}$$

$$=35-12=23$$

角平分線性質：角平分線上任一點到兩邊的垂直距離相等

故 $$\overline{DE}=\overline{BD}=x$$

$$\Delta ABC=\Delta ABD+\Delta ACD$$ $$=\frac{1}{2}\cdot8\cdot x+\frac{1}{2}\cdot10\cdot x$$

$$=4x+5x=9x$$

角平分線性質：角平分線上任一點到兩邊的垂直距離相等

故 $$\overline{DE}=\overline{BD}=x$$

$$\Delta ABC=\Delta ABD+\Delta ACD$$ $$=\frac{1}{2}\cdot8\cdot x+\frac{1}{2}\cdot10\cdot x$$

$$=4x+5x=9x$$

$$9x=24$$

$$\rightarrow\ x=\frac{24}{9}$$

等腰三角形中，下列皆為同一條線：

1. 頂角的角平分線

2. 底邊的中垂線

3. 底邊的中線

4. 底邊上的高