Si una sucesión de Cauchy $$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ tiene una subsucesión convergente entonces

$$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ converge

$$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ no converge

$$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ es convergente y divergente

Sea $$\left(E,d\right)$$ un espacio métrico, se dice que $$E$$ es completo si

Toda sucesión de Cauchy en $$E$$ es convergente

Si toda sucesión convergente en $$E$$ es de Cauchy

Si todo subconjunto de $$E$$ es cerrado

Si todo subconjunto de $$E$$ es abierto

Una sucesión $$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ es de Cauchy si

$$\forall\ \epsilon\ >0,\ \exists\ n_0\in\ N:\ d\left(x_n,\ x_m\right) n_0$$

$$\forall\ \epsilon\ >0,\ \exists\ n_0\in N:\ d\left(x_n,\ x_m\right)

$$\exists\ \epsilon\ >0\ :\ \forall\ n_0\in\ N\ d\left(x_n,\ x_m\right) n_0$$

$$\forall\ \epsilon\ >0,\ \exists\ n_0\in\ N:\ d\left(x_n,\ x_m\right)>\epsilon\ $$ si $$n,m>n_0$$

Sea $$f:X\rightarrow Y$$ un función definida de un espacio métrico $$\left(X,d\right)$$ en un espacio métrico $$\left(Y,d\right)$$ . Para cualquier sucesión de Cauchy $$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ en $$X$$

Si $$\left(f\left(x_n\right)\right)_{n\in\ N}$$ es una sucesión de Cauchy en $$Y$$ entonces $$f$$ es continua

Si $$f$$ es continua, entonces $$\left(f\left(x_n\right)\right)_{n\in\ N}$$ es una sucesión de Cauchy en $$Y$$

Si $$\left(f\left(x_n\right)\right)_{n\in\ N}$$ es una sucesión de Cauchy, entonces siempre es convergente en $$Y$$

$$\left(x_n\right)_{n\in\ N}$$ es siempre convergente en $$X$$

Sucesiones de Cauchy y EM Completos

Authored by Laura Wagner

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