Tutorium 2

Sei M ≔ {a, b, c, d, e} und P ≔ {{a, b}, {c}, {d, e}} eine Partition von M.

Welche der folgenden Mengen R_i sind Repräsentantensysteme für P?

• R₁ ≔ {{a}, {c}, {d}}

• P₂ ≔ {a, c, e}

• P₃ ≔ {a, b, c, d}

• R₄ ≔ {c, d, b}

• P₅ ≔ {b, c, d, e}

Sei M ≔ {a, b, c, d}.

Welche der folgenden Mengensysteme P_i ⊆ P(M) sind Partitionen von M?

• P₁ ≔ {{a, b}, {c}}

• P₂ ≔ {{a, d}, {c}, {b}}

• P₃ ≔ {∅, {a, c}, {b, d}}

• P₄ ≔ {{a, b}, {c, b}, {d}}

• P₅ ≔ {{a, b, c, d}}

Sei P ≔ {{a, b}, {c}, {d, e}} eine Partition mit Äquivalenzrelation R = R_P.

Welche Aussagen sind wahr?

• aRc

• Für jedes Repräsentantensystem R gilt: c ∈ R

• ¬ (aRd)

• dRe

Sei p: M → N eine Abbildung.

Was gilt?

• Ist p surjektiv, so bilden die Fasern von N eine Partition von M.

• Ist p injektiv, so bilden die Fasern von N eine Partition von M.

• Die Fasern von Bild(p) bilden eine Partition von M.

• Jede Partition ist eine Faserpartition.

• Ist p bijektiv, so gibt es ein eindeutiges Repräsentantensystem für die Faserpartition.

Sei R eine Äquivalenzrelation auf M.

Was gilt?

• ∀x∈M: xRx

• ∀x,y∈M: xRy ∧ yRx => x=y

• ∀x,y,z∈M: xRy ∧ yRz => xRz

• ∀x,y∈M: xRy => yRx

• Ist R die Äquivalenzrelation zu einer Partition P, so gilt: P = M/R