КЕГЭ тип 19-21 (Base)

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй – S камней; 1 ≤ S ≤ 109.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. 
Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

19. 19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123.
    Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней.
    В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй – S камней; 1 ≤ S ≤ 109.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. 
    Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

20. 20) Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
    − Петя не может выиграть за один ход;
    − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
    Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. (ответ 2 числа через пробел)
    

19. 19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123.
    Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней.
    В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй – S камней; 1 ≤ S ≤ 109.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. 
    Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

20. 21) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    –    у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    –    у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат три кучки камней, в первой из которых 2, во второй – 3, в третьей – S (1 ≤ S ≤ 19) камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет по два камня в каждую из куч.

Выигрывает игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20 камней, или после хода которого общее число камней во всех трех кучах становится не менее 25.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат три кучки камней, в первой из которых 2, во второй – 3, в третьей – S (1 ≤ S ≤ 19) камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет по два камня в каждую из куч.

Выигрывает игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20 камней, или после хода которого общее число камней во всех трех кучах становится не менее 25.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат три кучки камней, в первой из которых 2, во второй – 3, в третьей – S (1 ≤ S ≤ 19) камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет по два камня в каждую из куч.

Выигрывает игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20 камней, или после хода которого общее число камней во всех трех кучах становится не менее 25.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20) Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
    − Петя не может выиграть за один ход;
    − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. (ответ 2 числа через пробел)

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу от 2 до 5 камней либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 512.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 512 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 511.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу от 2 до 5 камней либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 512.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 512 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 511.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

21) Для игры, описанной в задании 19, найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу от 2 до 5 камней либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 512.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 512 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 511.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20) Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. (ответ 2 числа через пробел)

19) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 301.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 301 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 300.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите наименьшее значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

• 52

• 48

• 64

• 58

• 103