Bolyai Matematikai Verseny 7 - 8

Összesen hány olyan x racionális szám létezik, amelyre az: x; x + 1; 2x +1; 3x pontosan 3 különböző számot jelöl?

• 0

• 1

• 2

• 3

• 4

Árpi felírt 10 különböző pozitív egész számot, majd megmondta a számok összegét Bélának. Béla ebből már tudta, hogy melyik 10 számot írta fel Árpi. Mennyi lehetett a számok összege?

• 45

• 46

• 55

• 56

• 57

Az O középpontú körön úgy vettük fel az A, B, C, D különböző pontokat, hogy az AOB, BOC, COD szögek egyenlők, és ezek harmada az AOD szög (a szögek kisebbek 180°-nál). Hány fokos lehet ekkor az AOD szög?

• 30°

• 36°

• 45°

• 60°

• 72°

Felemásfalván kétféle ember él, igazmondók és hazugok. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazugok minden állítása hamis. Egy szobában közülük 20-an vannak, különböző magasságúak. Mindegyikük mond egy állítást, a következő két állítás egyikét: „A szobában legalább öt hazug magasabb nálam”; „A szobában legalább öt hazug alacsonyabb nálam”. Hány hazug lehet a szobában?

• 4

• 5

• 6

• 10

• 11

Az ABC háromszög BM súlyvonala feleakkora, mint AB, és ABM ∢ = 40° . Hány fokos lehet az ABC ∢?

• 60°

• 70°

• 90°

• 110°

• 120°

Bori babot ültetett egy 5×5-ös parcella celláiba oly módon, hogy a parcella bármely 3×3-as részén 4 cellában lett bab, és a többi cella üres maradt. Összesen hány cellába kerülhetett így bab?

• 6

• 7

• 10

• 13

• 17

Választottam három különböző számjegyet, majd leírtam az összes olyan különböző háromjegyű számot, amely e három számjegy mindegyikét tartalmazta, aztán összeadtam ezeket a háromjegyű számokat. Melyik lehetett a felhasznált számjegyek között, ha az összeg 1998 lett?

• 3

• 4

• 5

• 6

• 7

Egy 4 egység élhosszúságú kockát szét akarunk vágni 64 darab 1 élhosszúságú kis kockára. Ezt megtehetjük egyszerűen 9 egyenes vágással, ha a szétvágással keletkező darabokat nem mozdítjuk el egymástól. Hány egyenes vágásra csökkenthető ez le, ha az egyes vágások után a kapott darabokat alkalmas módon átrendezhetjük?

• 4

• 5

• 6

• 7

• 8

Négy különböző természetes szám közül bármelyik osztója a többiek összegének. Az alábbiakból mennyi lehet a négy szám összege?

• 12

• 16

• 18

• 28

• 30

Egy 60 cm hosszú vonalszerű körpályán 1 cm/mp sebességgel haladnak a pontszerű hangyák egyik, illetve ezzel ellentétes irányban. Ha két hangya találkozik, akkor mindkettő azonnal ellentétes irányban halad tovább ugyanolyan sebességgel. Ha egy teljes perc időtartam alatt pontosan 48 találkozás történt, akkor összesen hány hangya mozoghatott ezen a körpályán? (Az 1 perc kezdetén a hangyák különböző pontokban voltak.)

• 10

• 11

• 12

• 14

• 25