ЕГЭ-5

На Долине Четырёх Огней существовал обряд очищения чисел. Каждое натуральное число N переводилось в четверичную запись и обрабатывалось Огненным Алгоритмом. Если сумма цифр в четверичной записи была чётной, то к этой записи справа добавлялось 3, а затем два левых разряда заменялись на 21. Если сумма цифр в четверичной записи была нечётной, то к этой записи справа дописывалось 1, а затем два левых разряда заменялись на 32. Полученная запись является четверичной записью числа R. Только те числа R, которые превышали 2400 в десятичной системе, считались очищенными и достойными дальнейшего использования. Совет Долины объявил: “Найдите минимальное число R, которое может пройти ритуал”.

Какое минимальное значение R в десятичной системе счисления подходит для ритуала?

Алгоритм получает на вход натуральное число N и строит по нему новое число R следующим образом:

1. Строится троичная запись числа N.

2. В полученной записи все двойки заменяются на нули, а все нули — на двойки. Из полученного числа удаляются незначащие нули.

3. Результат переводится в десятичную систему счисления.

4. Результатом работы алгоритма становится модуль разности исходного числа N и числа, полученного на предыдущем шаге.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число, равное 378.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится троичная запись числа N.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если сумма цифр этой записи делится на 3, то к этой записи справа дописывается «212»;
б) если сумма цифр на 3 не делится, то она умножается на 2, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа R.
3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Например, для исходного числа 11 = 102₃ результатом является число 102212₃ = 320, а для исходного числа 12 = 110₃ это число 11011₃ = 112.
Укажите минимальное число R, большее 490, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.
1. Вычисляется квадрат суммы наибольшей и наименьшей цифр исходного числа.
2. Вычисляется произведение всех чётных цифр исходного числа.
3. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).
Пример. Исходное число: 82134. Квадрат суммы цифр = (1 + 8)²= 81. Произведение цифр = 8 2 4 = 64. Результат: 8164.
Укажите наименьшее число, при обработке которого автомат выдаст число 12116.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится запись числа N в системе счисления с основанием 12.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если число N делится на 3, то слева к нему приписывается «1», а справа «B»;
б) если число N на 3 не делится, то слева к нему приписывается «2», а справа «0».
Полученная таким образом запись является двенадцатеричной записью искомого числа R.
3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа 11 = B₁₂ результатом является число 2B0₁₂= 420, а для исходного числа 12 = 10₁₂ это число 110B₁₂ = 1883.
Укажите максимальное число R, меньшее 1996, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Автомат обрабатывает четырехзначное десятичное число N.

Из цифр числа строятся все возможные двузначные числа путем перестановки цифр числа.

Пример.

Дано число 1223.

Из него можно построить следующие числа: 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32.

Найдите разницу между минимальным и максимальным числами N, из цифр которых можно составить максимально возможное количество двузначных чисел.