Reguła mnożenia i dodawania LO, T

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 2,4,7 (np.: 7272,2222,7244), jest:

(a)  

Answer explanation

Rozwiązanie

Rozpiszmy sobie jakie cyfry mogą znaleźć się na każdym z czterech miejsc naszej liczby:
· w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda z trzech cyfr: 2,4 lub 7. Mamy zatem 3 możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie setek może znaleźć się każda z trzech cyfr: 2,4 lub 7. Mamy zatem 3 możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z trzech cyfr: 2,4 lub 7. Mamy zatem 3 możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie jedności może znaleźć się tylko cyfra 2 lub 4, bo chcemy by liczba była parzysta. Mamy zatem 2 możliwości uzupełnienia tej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:

3⋅3⋅3⋅2=54

Rozważmy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1,3,6,8 przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa:

(a)  

Answer explanation

Wyjaśnienie:

Rozpiszmy sobie jakie cyfry mogą pojawić się na poszczególnych miejscach naszego kodu:
· Na pierwszym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, zatem mamy 4 możliwości uzupełnienia pierwszej cyfry.
· Na drugim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tej, która była już wcześniej wykorzystana, zatem mamy 3 możliwości uzupełnienia drugiej cyfry.
· Na trzecim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych dwóch, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy 2 możliwości uzupełnienia trzeciej cyfry.
· Na czwartym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych trzech, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy 1 możliwość uzupełnienia czwartej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich kodów będziemy mieć:

4⋅3⋅2⋅1=24

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest:

• 9⋅10⋅10⋅10⋅10

• 9⋅9⋅9⋅9

• 10⋅9⋅8⋅7

• 9⋅9⋅8⋅7

Answer explanation

Rozwiązanie

Sprawdźmy jakich cyfr moglibyśmy użyć w zapisie naszej liczby czterocyfrowej:
- w rzędzie tysięcy mogłaby się znaleźć każda z cyfr od 1 do 9 włącznie, czyli mamy tutaj 9 możliwości
- w rzędzie setek mogłaby się znaleźć każda z cyfr od 0 do 9, oprócz tej jednej, której użyliśmy w rzędzie tysięcy, czyli tutaj mamy 9 możliwości
- w rzędzie dziesiątek mogłaby się znaleźć każda z cyfr od 0 do 9, oprócz tych dwóch, których użyliśmy w rzędzie tysięcy i setek, czyli tutaj mamy 8 możliwości
- w rzędzie jedności mogłaby się znaleźć każda z cyfr od 0 do 9, oprócz tych trzech, których użyliśmy w rzędzie tysięcy, setek i dziesiątek, czyli tutaj mamy 7 możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb mamy łącznie:

9⋅9⋅8⋅7

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,5,7 (np. 57075, 55555) jest:

• 5³

• 2⋅4³

• 2⋅3⁴

• 3⁵

Answer explanation

Wyjaśnienie:

Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry 5 oraz 7 (czyli bez 0, bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj 2 możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj 3 możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj 3 możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj 3 możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj 3 możliwości wyboru cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:

2⋅3⋅3⋅3⋅3=2⋅3⁴

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest:

• 9⋅9⋅2

• 9⋅10⋅2

• 9⋅9⋅4

• 9⋅10⋅4

Answer explanation

Rozwiązanie

Aby liczba była podzielna przez 25, to dwie ostatnie jej cyfry muszą być równe: 25,50,75 lub 00. My chcemy, by dodatkowo ta liczba była jeszcze nieparzysta, czyli interesująca nas liczba może przybrać jedną z dwóch postaci:

■■25 ■■75

Spróbujmy zatem ustalić, ile jest takich liczb czterocyfrowych, analizując ile mamy możliwości uzupełnienia cyfr tysięcy i setek liczby:
• cyfra tysięcy - tutaj możemy mieć cyfry od 1 do 9 włącznie, czyli mamy 9 możliwości uzupełnienia cyfry tysięcy
• cyfra setek - tutaj możemy mieć cyfr od 0 do 9 włącznie, czyli mamy 10 możliwości uzupełnienia cyfry setek
• cyfra dziesiątek i jedności - tu jak już ustaliliśmy, pasują nam tylko warianty 25 lub 75, czyli mamy 2 możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będzie:

9⋅10⋅2

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest:

• 6⋅10⋅10

• 3⋅10⋅10

• 6⋅5⋅5

• 3⋅5⋅5

Answer explanation

Rozwiązanie

Sprawdźmy, jakie mamy możliwości uzupełnienia cyfr setek, dziesiątek i jedności takiej trzycyfrowej liczby.
· W rzędzie setek możemy mieć cyfry 4,6 oraz 8 (cyfra 2 odpada, bo wtedy liczba będzie mniejsza od 300), czyli mamy 3 możliwości.
· W rzędzie dziesiątek możemy mieć cyfry 2,4,6,8 oraz 0, czyli mamy 5 możliwości.
· W rzędzie jedności możemy mieć cyfry 2,4,6,8 oraz 0, czyli mamy 5 możliwości.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, takich liczb trzycyfrowych będziemy mieć 3⋅5⋅5.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra 7 występuje dokładnie jeden raz, jest:

(a)  

Answer explanation

Rozwiązanie

Krok 1. Przeanalizowanie różnych możliwości zapisu liczby spełniającej warunki zadania.
Jeżeli liczba ma być parzysta i ma zawierać jedną siódemkę, to mamy do rozpatrzenia dwie możliwości:
a) Siódemka jest cyfrą setek, czyli mamy liczbę 7■■
b) Siódemka jest cyfrą dziesiątek, czyli mamy liczbę ■7■
Siódemka nie może być cyfrą jedności, bo wtedy liczba nie będzie parzysta.

Krok 2. Obliczenie liczby kombinacji w każdym z rozpatrywanych przypadków.
Rozpatrzmy zatem ile teraz mamy kombinacji w każdej z możliwych sytuacji:
a) 7■■
- w rzędzie setek mamy 7, czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie dziesiątek możemy mieć dowolną cyfrę od 0 do 9, ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest dziewięć możliwości.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie 0,2,4,6,8, zatem tutaj jest pięć możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:

1⋅9⋅5=45

b)■7■
- w rzędzie setek możemy mieć dowolną cyfrę od 1 do 9, ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest osiem możliwości.
- w rzędzie dziesiątek mamy 7, czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie 0,2,4,6,8, zatem tutaj jest pięć możliwości.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:

8⋅1⋅5=40
Krok 3. Obliczenie łącznej liczby interesujących nas kombinacji.
Teraz w grę wchodzi reguła dodawania. Musimy dodać do siebie wszystkie interesujące nas kombinacje, zatem wszystkich liczb spełniających warunki zadania będziemy mieć:

45+40=85