Wstęp do teorii miary - miary i całki

Podać definicję całki dla funkcji prostej nieujemnej.

• Całka to iloczyn wartości funkcji i długości przedziału.

• Całka to granica sumy Riemanna dla funkcji nieujemnej.

• Całka to różnica wartości funkcji w końcach przedziału.

Podać definicję całki dla funkcji o wartościach rzeczywistych.

• Całka to iloczyn wartości funkcji i długości przedziału.

• Całka to granica sumy Riemanna dla funkcji.

• Całka to różnica wartości funkcji w końcowych punktach przedziału.

Zapisać warunek przeliczalnej addytywności

• Warunek przeliczalnej addytywności to: \( a + b = b + a \)

• Warunek przeliczalnej addytywności to: \( a + (b + c) = (a + b) + c \)

• Warunek przeliczalnej addytywności to: \( a + 0 = a \)

Podać definicję całki dla funkcji nieujemnej.

• Całka to iloczyn wartości funkcji i długości przedziału.

• Całka to granica sumy Riemanna dla funkcji nieujemnej.

• Całka to różnica wartości funkcji w końcowych punktach przedziału.

Sformułować twierdzenie o oszacowaniu całki.

• Twierdzenie o oszacowaniu całki stwierdza, że całka funkcji jest zawsze dodatnia.

• Twierdzenie o oszacowaniu całki określa, że całka funkcji jest równa sumie wartości funkcji w punktach.

• Twierdzenie o oszacowaniu całki mówi, że można oszacować wartość całki na podstawie wartości funkcji w przedziale.

Sformułować twierdzenie o tym, że całka zadaje miarę.

• Całka jest miarą objętości w przestrzeni.

• Całka jest miarą pola pod krzywą.

• Całka jest miarą czasu.

Kiedy miarę nazywamy zupełną?

• Gdy jest pełna i dokładna

• Gdy jest subiektywna

• Gdy jest oparta na intuicji

Kiedy miarę nazywamy probabilistyczną?

• Gdy spełnia aksjomaty Kolmogorowa

• Gdy jest to miara Borel'a

• Gdy jest to miara skończona

Sformułować twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej.

• Dla funkcji monotonicznie malejącej, granica całki jest równa całce z granicy funkcji.

• Dla funkcji zbieżnych, granica całki jest równa całce z granicy funkcji.

• Dla funkcji monotonicznie rosnącej, granica całki jest równa granicy funkcji.

Sformułować twierdzenie Lebesgue'a o całkowaniu szeregów.

• Twierdzenie Lebesgue'a stwierdza, że dla każdej funkcji ciągłej istnieje granica całki.

• Twierdzenie Lebesgue'a dotyczy tylko funkcji dyskretnych i nie ma zastosowania do funkcji ciągłych.

• Twierdzenie Lebesgue'a mówi, że całkowalność w sensie Lebesgue'a jest równoważna całkowalności w sensie Riemanna.