Combinatória e Permutações

Análise Combinatória – ENEM 2016

Uma comissão será formada por três estudantes entre dez candidatos. De quantas maneiras distintas essa comissão pode ser formada?

Dica: Lembre-se de que a ordem dos estudantes na comissão não importa. Use a fórmula de combinação:
C(n, k) = n! / [k! (n-k)!] , onde n é o número total de candidatos e k é o número de estudantes escolhidos.

• 720

• 120

• 100

• 60

• 30

Answer explanation

🧠 Explicação:
Para formar uma comissão de 3 estudantes entre 10 candidatos, usamos a combinação: C(10,3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120. Portanto, a resposta correta é 120.

Análise Combinatória - PUC-RJ 2007

Um grupo de 7 pessoas será dividido em duas equipes para realizar uma tarefa. Uma das equipes deve ter 3 pessoas e a outra, 4 pessoas. De quantas maneiras distintas é possível formar essas equipes?

• Dica: Para resolver, pense em quantas formas diferentes você pode escolher 3 pessoas entre as 7 para formar a primeira equipe. Lembre-se que, ao escolher a equipe de 3, a outra equipe automaticamente será formada pelas pessoas restantes.

• Você pode usar a fórmula de combinação: C(n, k) = n! / [k! (n-k)!], onde n é o total de pessoas e k é o número de pessoas a serem escolhidas.

• 35

• 140

• 105

• 21

• 7

Answer explanation

🧠 Explicação:
Para formar as equipes, escolhemos 3 pessoas entre 7. O número de combinações é dado por C(7,3) = 35. Como a ordem das equipes não importa, a resposta é 35, mas como temos 4 pessoas na outra equipe, a combinação total é 105.

Análise Combinatória – FUVEST 2010

Uma fábrica produz caixas com códigos formados por 4 letras distintas do alfabeto (A-Z). Quantos códigos diferentes podem ser formados?

• Dica: as letras não se repetem e a ordem importa.

• O alfabeto tem 26 letras.

• Você pode usar o princípio da contagem para calcular: escolha a 1ª letra, depois a 2ª, depois a 3ª e a 4ª, sem repetir.

• 358800

• 7893600

• 35860

• 35850

• 17576

Answer explanation

🧠 Explicação:
Para formar códigos com 4 letras distintas do alfabeto (26 letras), usamos a permutação: 26P4 = 26! / (26-4)! = 26 x 25 x 24 x 23 = 358800. Portanto, a resposta correta é 358800.

Progressões (PA e PG) – ENEM 2014

Uma empresa inicia um programa de redução de consumo de papel. A meta é reduzir, a cada mês, 10% do consumo do mês anterior. Se no primeiro mês foram utilizados 1000 pacotes de papel, quantos pacotes serão utilizados no terceiro mês?

Dica: Lembre-se que uma redução percentual a cada mês caracteriza uma progressão geométrica (PG). Use a fórmula do termo geral da PG:
a_n = a₁ · r^n-1, onde r é a razão (neste caso, 0,9).

• 810

• 729

• 700

• 900

• 800

Answer explanation

🧠 Explicação:
No primeiro mês, foram usados 1000 pacotes. No segundo mês, 1000 - 10% = 900 pacotes. No terceiro mês, 900 - 10% = 810 pacotes. Portanto, a resposta correta é 810.

Progressões (PA e PG) – UNICAMP 2018

Uma progressão aritmética tem seu primeiro termo igual a 5 e o vigésimo termo igual a 62. Qual é a soma dos 20 primeiros termos dessa PA?

• Dica: O termo geral de uma PA é dado por a_n = a₁ + (n-1)r, onde a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é o número do termo.

• A soma dos n primeiros termos é S_n = (a₁ + a_n) × n / 2.

• 670

• 660

• 675

• 680

Answer explanation

🧠 Explicação:
Uma PA tem o primeiro termo a1=5a1​=5 e a20=62a20​=62. A diferença comum dd pode ser encontrada usando a20=a1+19da20​=a1​+19d, resultando em d=3d=3. A soma dos primeiros 20 termos é S20=202⋅(a1+a20)=10⋅(5+62)=670S20​=220​⋅(a1​+a20​)=10⋅(5+62)= 670.

Progressões (PA e PG) – UFF 2006

Um capital de R$ 200,00 foi aplicado a juros compostos mensais de 5%. Qual o valor total da aplicação ao final de 12 meses?

• Dica: Lembre-se da fórmula dos juros compostos:
  Montante = Capital × (1 + taxa)ⁿ,
  onde "taxa" deve ser usada na forma decimal (5% = 0,05) e "n" é o número de períodos (meses).

• R$ 358.00

• R$ 358.80

• R$ 350.00

• R$ 360.00

Answer explanation

🧠 Explicação:
Para calcular o montante em juros compostos, usamos a fórmula M = P(1 + i)^n. Aqui, P = 200, i = 0,05 e n = 12. Assim, M = 200(1 + 0,05)^{12} = 200(1,795856) = 358,80. Portanto, a resposta correta é R$ 358,80.

Álgebra Fácil :
Para saber o custo total (em reais) na produção de x sushis para um grupo de estudantes da UNIP, .
Dica: usamos o determinante da matriz:

| X  1     0  |

| 0  -X 100|

| 0  -1    1 |

Se forem produzidos 70 sushis, qual será o custo total?

• R$ 2500,00

• R$ 2000,50

• R$ 3150,00

• R$ 2100,00

Answer explanation

🧠 Explicação:

Substituímos x = 70 na matriz e calculamos o determinante:

C=70⋅(−70)⋅1+70⋅100=−4900+7000=2100C=70⋅(−70)⋅1+70⋅100=−4900+7000= R$2100

Álgebra Médio:

(INEP – ENEM – 2023)

Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão V(x) = x²/4 - 10x + 105,  em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30.
• Ótimo: V0 ≥ 24 • Bom: 20 ≤ V0 < 24 • Normal: 10 ≤ V0 < 20 • Ruim: 4 ≤ V0 < 10 • Péssimo: V0 < 4
Dica: x representa os dias do mês (de 1 a 30), qual é a classificação do menor valor arrecadado no mês?

• Ótimo

• Bom

• Normal

• Ruim

Answer explanation

🧠 Explicação rápida:

A função é uma parábola com concavidade para cima. O menor valor ocorre no vértice:

x=−(−10)2⋅14=20x=2⋅41​−(−10)​=20

Substituindo:

V(20)=4004−200+105=100−200+105=5V(20)=4400​−200+105=100−200+105=5

Como 5 mil está entre 4 e 10, a classificação é Ruim.

Álgebra Difícil
(INEP - ENEM PPL – 2020)

PIS e Cofins são impostos cumulativos, ou seja, são aplicados em cada etapa da venda de um produto, sem abatimento do valor anterior. A alíquota total é de 3,65% por etapa.

Se um produto com preço inicial C é vendido duas vezes, com o imposto aplicado em ambas, qual expressão representa o valor total pago em impostos pelo consumidor?
Dica: O imposto é cobrado duas vezes — e a segunda vez inclui o imposto da primeira. Pense em imposto sobre imposto.

• C × 0,0365

• 2C × 0,0365

• C × 1,0365²

• 2C × 0,0365 + C × 0,0365²

Answer explanation

🧠 Explicação rápida:

• O imposto de 3,65% é aplicado duas vezes:

  1. Sobre o preço inicial → C × 0,0365

  2. Sobre o valor já com imposto → novo valor × 0,0365

• Isso gera:
  2C × 0,0365 (duas incidências diretas)
  + C × 0,0365² (imposto sobre imposto)

Funções (Encceja 2018) Fácil:

Uma empresa cobra R$ 40 pela visita e R$ 20 por hora de serviço.

Qual expressão representa o valor total P a ser pago em função das horas h?
Dica: O valor da visita é fixo. O valor por hora depende de h.
Use a estrutura: fixo + variável.

• P = 20 + 40h

• P = 40h + 20h

• P = 60h

• P = 20 + 40

Answer explanation

🧠 Explicação rápida:

• A visita custa R$ 40 (valor fixo).

• Cada hora de serviço custa R$ 20.

• Então: P = 40 + 20h