Quiz de Matemáticas: Trigonometría

Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23', encuentra la altura del edificio. Los estudiantes discuten en grupo y proponen los siguientes procedimientos para resolver el ejercicio. ¿Cuál de ellos es correcto?

• Ana propone lo siguiente: "Como tengo el ángulo y la distancia al edificio, uso el seno:

• Lucía propone lo siguiente: "Uso la tangente, pero confundo los catetos:

• Daniel propone lo siguiente: "Uso el coseno para hallar la altura:

• Carlos propone lo siguiente: "Primero convierto el ángulo a grados decimales:

• Julián propone que ninguno de los procedimientos anteriores es correcto, porque no se usa la razón trigonométrica adecuada que relaciones las medidas de los lados de los triángulos.

En una obra de infraestructura vial, se necesita atravesar una montaña de 250 metros de altura construyendo un túnel en línea recta por la base. Desde un punto A, la cima se observa con un ángulo de elevación de 48°30′, y desde un punto B, en el lado opuesto, la cima se observa con un ángulo de elevación de 38°. Con base en esta situación, varios miembros del equipo técnico proponen procedimientos para encontrar la longitud del túnel. ¿Cuál de ellos propone el procedimiento correcto?

• El maestro de obra don Ramiro dice: "Yo tomo el ángulo más grande, el de 48,5°, y aplico la tangente. Divido los 250 metros entre la tangente de ese ángulo, que es aproximadamente 1,13. El resultado me da una distancia de 221,24 metros, que debe ser la longitud del túnel.

• La arquitecta Laura propone: "Primero divido el problema en dos triángulos rectángulos. En ambos, la altura de la montaña es el cateto opuesto (250 metros). En el primer triángulo, con ángulo de 48,5°, uso la tangente: Tangente de 48,5° es aproximadamente 1,13. Entonces, la distancia horizontal es 250 dividido entre 1,13, lo que da aproximadamente 221,24 metros. En el segundo triángulo, con ángulo de 38°, uso también la tangente: Tangente de 38° es aproximadamente 0,7813. Entonces, la distancia horizontal es 250 dividido entre 0,7813, lo que da aproximadamente 319,99 metros. Finalmente, sumo ambas distancias para hallar la longitud del túnel: 221,24 más 319,99 es igual a 541,23 metros.

• El ingeniero Andrés propone: "Resto los dos ángulos: 48,5° menos 38° me da 10,5°. Luego, divido los 250 metros entre la tangente de 10,5°, que es aproximadamente 0,185. Eso me da una distancia de 1351,4 metros. Esa debe ser la longitud del túnel.

• El trabajador Henry dice: "Promedio los dos ángulos. Sumo 48,5° más 38° y divido por dos, me da 43,25°. Divido los 250 metros entre la tangente de ese ángulo, que es aproximadamente 0,94. Eso me da una longitud de 265,96 metros.

• El ingeniero Camilo comenta: "Uso la ley de los senos. Con los ángulos de 38°, 48,5° y el que falta de 93,5°, calculo dos tramos del túnel: Uno me da 154 metros y el otro 188,3 metro. Al sumarlos obtengo 342,3 metros como longitud del túnel.

Durante una expedición escolar, un grupo de estudiantes de grado 10°, junto con su profesor de matemáticas, observan un globo aerostático elevándose en el cielo. Desde un punto en el suelo, el ángulo de elevación hacia el globo es de 46°10'. Si la distancia desde el punto de observación hasta la posición del globo es de 50 metros, ¿a qué altura se encuentra el globo con respecto al suelo? Cada uno de los estudiantes propone un procedimiento diferente para resolver el problema. ¿Quién de ellos tiene el procedimiento correcto?

Desde lo alto de una torre de 25 metros de altura se observa un automóvil alejándose. En un primer instante, el ángulo de depresión es de 32°. Un momento después, el ángulo de depresión es de 26°. ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil entre esos dos momentos?

• 40,01 metros

• 45,1 metros

• 237,87 metros

• 11,25 metros

• 27 metros

Altura de una torre: una torre de agua se localiza a 325 pies de un edificio, véase la figura, desde una ventana en el edificio un observador nota que el ángulo de elevación de la parte superior de la torre es de 39ᵒ y que el ángulo de depresión respecto a la base es de 25ᵒ, ¿Qué tan alta es la torre? ¿ a qué altura esta la ventana?