Simulado 1/2 - SAEB - Matemática - 3ºANO - EM - Levi Cunha.

O departamento de análise de performance de um time de futebol monitora todos os aspectos dos jogos. Para facilitar algumas dessas análises, um profissional representou o campo como um plano cartesiano, em que cada unidade equivale a 1 metro. A linha central coincide com o eixo y e o centro do campo está na origem, como mostra a figura abaixo.

Em certo momento do jogo, o goleiro fez um tiro de meta, colocando a bola no ponto T de coordenadas (–45, –9), e lançou a bola para um companheiro no ponto M (25, 41).

Com base nessas informações, qual é a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi chutada e o ponto onde ela foi recebida? Utilize a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

• Dica 1: A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
  d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
• Dica 2: Identifique corretamente as coordenadas dos pontos: T (–45, –9) e M (25, 41).
• Dica 3: Substitua os valores das coordenadas na fórmula e calcule cada etapa separadamente para evitar erros.
• Dica 4: Lembre-se: a ordem dos pontos não altera o resultado, pois os valores são elevados ao quadrado.

• 70 metros

• 120 metros

• 4√89 metros

• 10√74 metros

Answer explanation

Paula comprou 1 caneta e 2 lápis e pagou R$ 7,00. Carlos comprou 3 canetas e 1 lápis, iguais aos de Paula, e pagou R$ 11,00.

Mariana sugeriu aos amigos que, para descobrir quanto custariam 2 canetas e 1 lápis, bastaria resolver a equação matricial A · B = C. Passo a passo para resolver:

• Identifique as incógnitas: x = preço da caneta, y = preço do lápis.

• Monte o sistema de equações a partir das compras:
  1x + 2y = 7
  3x + 1y = 11

• Observe que o sistema pode ser representado pela equação matricial A · B = C, onde:
  A = [[1, 2], [3, 1]], B = [[x], [y]], C = [[7], [11]]

• Resolva o sistema (por substituição, comparação ou matriz inversa) para encontrar x e y.

• Depois, calcule quanto custam 2 canetas e 1 lápis: 2x + 1y.

• Analise as alternativas e escolha a correta.

Qual é o valor, em reais, que Mariana encontrou para 2 canetas e 1 lápis?

• R$ 5,00

• R$ 7,00

• R$ 8,00

• R$ 10,00

Answer explanation

Uma folha de papel retangular, com dimensões 18 cm x 12 cm, é utilizada para fazer um barquinho de papel. Na primeira etapa, a folha é dobrada conforme a ilustração abaixo, de modo que o ponto D coincide com o ponto E na base do retângulo. Após essa dobradura, o segmento EC mede 12 cm, que corresponde à altura original da folha.

Dicas para resolver:

• Observe que a folha é um retângulo e, após a dobradura, o ponto D vai até a base, formando o ponto E.
• O segmento EC é igual à altura do retângulo original, ou seja, 12 cm.
• Para encontrar o comprimento do segmento AE, perceba que o triângulo AED é formado após a dobradura, sendo um triângulo retângulo.
• Identifique os catetos e a hipotenusa do triângulo AED. O cateto AD mede 12 cm e o cateto DE mede 18 cm - 12 cm = 6 cm.
• Use o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de AE: AE² = AD² + DE².

Qual é o comprimento do segmento AE após a dobradura?

• 4√5 cm

• 12 cm

• 6√5 cm

• 18 cm

Answer explanation

O mel de abelha é um alimento muito nutritivo, rico em minerais e açúcares naturais, sendo bastante benéfico para a saúde humana. O Brasil é um grande produtor de mel, com apicultores em todas as regiões do país. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a produção de mel no Brasil, entre 2011 e 2021, evoluiu conforme o gráfico abaixo:

Observe atentamente o gráfico, analisando os valores de produção de mel em cada ano.

Pergunta: Comparando cada ano com o ano seguinte, quantas vezes a produção de mel diminuiu de um ano para o outro no período apresentado?

• Leia os valores de cada ano no gráfico.
• Compare cada valor com o do ano seguinte para identificar se houve aumento ou diminuição.
• Conte quantas vezes a produção caiu de um ano para o outro (ou seja, quando o valor do ano seguinte é menor que o do ano anterior).
• Dica: Anote os valores em uma lista e marque as quedas para facilitar a contagem.

• 1 vez

• 2 vezes

• 3 vezes

• 4 vezes

Answer explanation

Por observação do gráfico, analisando os anos consecutivos dois a dois, vê-se que os pares de 2011 a 2012 e de 2014 a 2015 apresentaram decrescimento da produção de mel. Por conseguinte, o número de vezes em que houve decrescimento da produção de mel no período considerado é 2.

Um HD externo de 1 terabyte pode armazenar até 300 mil fotos digitais de alta resolução. Cada foto, quando impressa, mede 10 cm de largura por 15 cm de altura e tem uma espessura de 0,21 mm.

Se empilharmos todas as fotos impressas que cabem nesse HD, qual será o volume total dessa pilha, em decímetros cúbicos (dm³)?

• Dica 1: Para calcular o volume de uma foto, multiplique comprimento, largura e espessura. Lembre-se de converter todas as medidas para a mesma unidade (por exemplo, cm).
• Dica 2: Multiplique o volume de uma foto pelo número total de fotos (300.000).
• Dica 3: Para converter o volume final de cm³ para dm³, divida por 1.000, pois 1 dm³ = 1.000 cm³.

Qual é o volume total da pilha de fotos?

• 945 dm³

• 9.450 dm³

• 94.500 dm³

• 945.000 dm³

Answer explanation

A altura da torre, em mm, é dada por 300 000 · 0,21 = 63 000 mm, ou 6 300 cm. Logo, o volume da torre será dado por 10 · 15 · 6 300 = 945 000 cm³ = 945 dm³, pois 1 000 cm³ = 1 dm³.

Um grupo de 60 pessoas, incluindo as irmãs Vânia e Bianca, inscreveu-se para participar de uma seleção de emprego. A empresa deseja formar grupos de 5 pessoas para a próxima etapa.

Quantas maneiras diferentes a empresa pode escolher um grupo de 5 pessoas, garantindo que as irmãs Vânia e Bianca não fiquem juntas no mesmo grupo?

• Dica 1: Como a ordem dos escolhidos não importa, estamos trabalhando com combinações (C).
• Dica 2: Primeiro, calcule o total de grupos possíveis de 5 pessoas escolhidas entre 60 (C_60,5).
• Dica 3: Agora, calcule quantos grupos de 5 pessoas podem ser formados com as duas irmãs juntas. Se as duas irmãs já estão no grupo, restam 3 vagas para serem preenchidas entre as outras 58 pessoas (C_58,3).
• Dica 4: Para encontrar o número de grupos em que as irmãs não estão juntas, subtraia o número de grupos com as duas juntas do total de grupos possíveis.
• Explicação: Lembre-se: C_n,k representa o número de combinações de n elementos tomados de k em k, ou seja, de quantas formas podemos escolher k pessoas entre n disponíveis, sem se importar com a ordem.

• A) A 58,3

  Permutação dos 58 em grupos de 3 (não é o caso aqui).

• B) C 60,5

  Total de grupos possíveis, sem restrição.

• C) A 60,5 - A 58,3

  Subtração de arranjos, não combinações.

• D) C 60,5 - C 58,3

  Correto! Total de grupos menos os grupos com as duas irmãs juntas.

Answer explanation

Do enunciado, combinando as 60 pessoas 5 a 5, é possível descobrir o total de grupos que poderiam ser selecionados. Como a restrição diz que as irmãs não podem ficar juntas em um mesmo grupo, temos que o total de grupos em que elas estão juntas é uma combinação das outras 58, tomadas 3 a 3. Assim, o total de grupos pedidos é:  C60,5−C58,3​.

Três estudantes estão realizando uma pesquisa estatística para apresentar à direção da escola.

Lucas ficou responsável por aplicar o questionário abaixo com os alunos:

1) Série em que estuda:
○ 6º ano   ○ 7º ano   ○ 8º ano   ○ 9º ano
2) Idade:
3) Tempo de estudo diário, em minutos:
4) Distância de sua casa à escola:
5) Número de pessoas que vivem em sua casa:

Bernardo ficou responsável por construir os gráficos das variáveis categóricas, enquanto Carlos ficou responsável pelos gráficos das variáveis numéricas.

Vamos aprender juntos:

• Variáveis numéricas são aquelas que podem ser medidas ou contadas, como idade, tempo, distância e quantidade de pessoas.
• Observe o questionário acima e identifique quais perguntas pedem respostas em números. Cada uma dessas perguntas corresponde a uma variável numérica.
• Conte quantas perguntas do questionário são desse tipo para descobrir quantos gráficos Carlos deve fazer.

Quantos gráficos Carlos deve fazer para representar as variáveis numéricas?

• Carlos deve fazer 1 gráfico.

• Carlos deve fazer 3 gráficos.

• Carlos deve fazer 4 gráficos.

• Carlos deve fazer 5 gráficos.

Answer explanation

Observando as variáveis, conclui-se que:

• Série em que estuda: categórica, divide os alunos em categorias (séries);

• Idade: numérica, o resultado é um valor numérico natural (numérica discreta);

• Tempo médio de estudo em minutos: numérica, o resultado é um número inteiro (alguns podem apontar como numérica contínua embora não seja usual);

• Distância de sua casa à escola: numérica, pois o resultado pode ser um número decimal ou inteiro (numérica contínua);

• Número de pessoas que vive na casa: numérica, o resultado é um número natural (numérica discreta).

Observe atentamente o plano cartesiano abaixo, que mostra a localização de três supermercados de uma mesma rede: A, B e C.

A empresa deseja construir um centro de distribuição exatamente na reta que passa pelos pontos B e C. Esse centro deve ser posicionado no ponto da reta BC que esteja mais próximo possível do supermercado A.

Sabendo que as distâncias de A até B e de A até C são iguais, responda:

Qual é a equação da reta que representa o caminho mais curto (ou seja, a linha perpendicular) que liga o supermercado A ao ponto mais próximo da reta BC?

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Dicas para resolver:

• Identifique as coordenadas dos pontos A, B e C no plano cartesiano. (Dica: observe os valores de x e y para cada ponto.)
• Como A está equidistante de B e C, o ponto mais próximo de A na reta BC é a projeção ortogonal de A sobre essa reta.
• Para encontrar a equação da reta que liga A ao ponto mais próximo da reta BC, calcule a reta perpendicular a BC que passa por A.
• Encontre o coeficiente angular (inclinação) da reta BC e, depois, o coeficiente angular da reta perpendicular a ela (lembre-se: são negativos inversos).
• Monte a equação da reta perpendicular usando o ponto A e o coeficiente angular encontrado. Use a equação geral da reta para facilitar a comparação com as alternativas.

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Alternativas:

• 3x – y – 1 = 0

• x – 2y + 3 = 0

• – x – 3y + 17 = 0

• – 2x – y + 9 = 0

Answer explanation

A menor distância entre o ponto A e o lado BC é a altura do triângulo. O aluno realiza o cálculo da altura referente ao lado BC. Como o triângulo é isósceles, a altura passará pelo ponto médio M do lado BC; logo, basta utilizar as coordenadas dos pontos A e M.

(2, 5) → 2a + b = 5

(3, 3) → 3a + b = 3

a = – 2 e b = 9 → – 2x + 9 = y → – 2x – y + 9 = 0

Durante o ano de 2020, os gastos diários da empresa de Marcos foram representados pela função f(x) = –0,01x² + 6x + 777, em que x indica o dia do ano (x = 1, 2, 3, ..., 365, 366) e f(x) é o valor gasto nesse dia.

Sabendo que essa função é uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente de x² é negativo), qual foi o valor máximo de dinheiro gasto em um único dia pela empresa de Marcos em 2020?

• 123

• 300

• 1 677

• 1 077

Dicas para resolver:

• Identifique que a função é do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, indicando um valor máximo.
• Para encontrar o valor máximo, utilize a fórmula do vértice: y_v = -b²/4a + c ou y_v = -Δ/4a.
• Substitua os valores a = -0,01, b = 6 e c = 777 na fórmula e calcule com atenção.
• O valor encontrado será o maior gasto diário da empresa no ano.

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Explicação da resposta correta:

Para encontrar o valor máximo da função quadrática, usamos a fórmula do vértice para a ordenada (y):
y_v = -Δ/4a, onde Δ = b² - 4ac.
Substituindo os valores:
a = -0,01, b = 6, c = 777.
Δ = 6² - 4·(-0,01)·777 = 36 + 31,08 = 67,08
y_v = -67,08 / (4·(-0,01)) = -67,08 / (-0,04) = 1 677
Portanto, o valor máximo gasto em um único dia foi 1 677.

• 123

• 300

• 1 677

• 1 077

Answer explanation

Observe atentamente a figura a seguir, que mostra a vista aérea dos contornos de uma praça (em tracejado) sobre um plano xy, com uma malha quadriculada formada pelo cruzamento das linhas verticais e horizontais. Cada quadrado da malha, na escala real, corresponde a 12 metros de lado.

Considere as seguintes aproximações para facilitar os cálculos: √34 = 5,8, √5 = 2,2 e √58 = 7,6.

Vamos calcular juntos o perímetro da praça, em metros. Siga o passo a passo:

• Identifique todos os segmentos de reta que formam o contorno da praça, observando se são horizontais, verticais ou inclinados.
• Para os lados inclinados, utilize o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento em unidades da malha.
• Conte o número de quadrados (ou frações deles) atravessados por cada lado para determinar o comprimento em unidades da malha.
• Multiplique cada comprimento pelo valor real de cada unidade (12 metros).
• Some todos os comprimentos para obter o perímetro total da praça.
• Lembre-se de usar as aproximações fornecidas para facilitar os cálculos dos lados inclinados.

Qual é o perímetro da praça, em metros?

• 540,0 metros

• 526,0 metros

• 470,4 metros

• 357,6 metros

Answer explanation

O perímetro da praça equivale à soma das medidas de seus lados. Para calcular o perímetro, portanto, é necessário determinar os comprimentos dos lados inclinados. Com essa finalidade, linhas cheias são traçadas para delimitar os triângulos retângulos 1, 2 e 3, cujas hipotenusas correspondem aos lados inclinados (os comprimentos dos catetos são obtidos por contagem dos respectivos números de quadrados da malha):

Triângulo 1 (hipotenusa h1):

h1²=6²+14²​

h1=√36+196

h1=√232=2√58

Triângulo 2 (hipotenusa h2​):

h2²=5²+3²

h2=√25+9

Triângulo 3 (hipotenusa h3):

h3²=2²+11²

h3=√4+121

h3=√125=5√5

Adotando √34 = 5,8, √5 = 2,2 e √58 = 7,6, considerando o fator de escala de o lado de cada quadrado que compõe a malha equivale a 12 metros na escala real, calcula-se o perímetro P da praça:

P = (2√58 + √34 + 5√5 + 13) · 12

P = (2 · 7,6 + 5,8 + 5 · 2,2 + 13) · 12

P = (15,2 + 5,8 + 11 + 13) · 12

P = 45 · 12

P = 540,0 m²