คำถามคณิตศาสตร์

จากสมการ 4x² – 2kx + k + 5 = 0 ค่า k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ค่ารากของสมการไม่เป็นจำนวนจริง แล้วผลรวมของค่า k ทั้งหมดที่เป็นไปได้เป็นเท่าใด (เตรียมอุดมฯ 60)

• 15

• 16

• 17

• 18

• 19

กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน AB = AC   AD, BE และ CF เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด A, B และ C ไปยังด้าน BC, AC และ AB ตามลำดับ AD = 8 หน่วย ผลบวกของกำลังสองของความยาวเส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นเท่ากับ 258 จงหาความยาวเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC  (เตรียมอุดมฯ 60)

• 30

• 31

• 32

• 33

• 34

จากสมการ xy + 2x + y = 7
yz + 3y + 2z = 12
zx + z + 3x = 15
โดยที่ z < y < x < 0 ; จงหาค่าของ xyz (เตรียมอุดมฯ 60)

(a)  

อัลเบิร์ตและเบอร์นาร์ดเพิ่งกลายเป็นเพื่อนกับเชอริล และพวกเขาอยากรู้ว่าวันเกิดของเธอคือวันไหน

เชอริลให้รายชื่อวันที่เป็นไปได้ 10 วันแก่พวกเขา:

• วันที่ 15 พฤษภาคม, 16 พฤษภาคม, 19 พฤษภาคม

• วันที่ 17 มิถุนายน, 18 มิถุนายน

• วันที่ 14 กรกฎาคม, 16 กรกฎาคม

• 14 สิงหาคม, 15 สิงหาคม, 17 สิงหาคม

จากนั้นเชอริลก็บอกอัลเบิร์ตและเบอร์นาร์ดแยกกันถึงเดือนและวันเกิดของเธอตามลำดับ

อัลเบิร์ต: ฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ฉันรู้ว่าเบอร์นาร์ดก็ไม่รู้เหมือนกัน

เบอร์นาด: ตอนแรกฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ตอนนี้ฉันรู้แล้ว

อัลเบิร์ต: แล้วฉันก็รู้ด้วยว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน

แล้ววันเกิดของเชอริลคือเมื่อไหร่?

(a)  

Answer explanation

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยกระบวนการคัดออกตามสิ่งที่แต่ละคนพูด

มาดูข้อมูลกันทีละบรรทัด

[บรรทัดที่ 7] จากนั้นเชอริลก็บอกอัลเบิร์ตและเบอร์นาร์ดแยกกันถึงเดือนและวันเกิดของเธอตามลำดับ

นี่เป็นข้อมูลที่สำคัญเพราะบอกเราว่าอัลเบิร์ตรู้เดือนและเบอร์นาร์ดรู้วัน

อัลเบิร์ตรู้ว่าเป็นเดือนพฤษภาคม มิถุนายน กรกฎาคม หรือสิงหาคม ส่วนเบอร์นาร์ดรู้ว่าเป็นวันที่ 14, 15, 16, 17, 18 หรือ 19

[บรรทัดที่ 8] อัลเบิร์ต: ฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ฉันรู้ว่าเบอร์นาร์ดก็ไม่รู้เหมือนกัน

ส่วนที่สองคือเบาะแส ความจริงที่ว่าอัลเบิร์ตอ้างว่าเบอร์นาร์ดไม่รู้ หมายความว่าเขาอายุ 18 หรือ 19 ไม่ได้ ทำไมน่ะเหรอ?

ถ้าเป็นอายุ 19 เบอร์นาร์ดก็คงรู้วันเกิดที่แน่นอน เพราะเดือนพฤษภาคมเป็นวันเดียวที่มีเลข 19

ถ้าเบอร์นาดได้รับแจ้งว่าวันที่ 18 มิถุนายนเป็นวันคล้ายวันเกิดของเขา เขาก็คงจะทราบเช่นกันว่าวันเกิดของเขาต้องเป็นวันที่ 18 มิถุนายน เนื่องจากเป็นวันเดียวที่มีเลข 18

ดังนั้นคุณจึงตัดวันที่ 19 พฤษภาคมและ 18 มิถุนายนออกไปได้

แต่ว่าอัลเบิร์ตจะแน่ใจได้อย่างไรว่าเบอร์นาร์ดไม่ได้ยินเลข 18 หรือ 19?

คงเป็นเพราะอัลเบิร์ตรู้ว่าวันเกิดไม่ใช่เดือนพฤษภาคมหรือมิถุนายน

หากอัลเบิร์ตได้รับแจ้งว่าเดือนนี้คือเดือนพฤษภาคม เขาไม่อาจแน่ใจได้ว่าเบอร์นาร์ดไม่ได้คิดถึงเลข 19 ดังนั้น คุณสามารถขีดฆ่าเดือนพฤษภาคมออกไปได้

และถ้าอัลเบิร์ตได้รับแจ้งว่าเป็นเดือนมิถุนายน เขาก็ไม่แน่ใจว่าเบอร์นาร์ดกำลังคิดถึงเลข 17 หรือไม่ ดังนั้นเดือนมิถุนายนก็เลยออกไปเช่นกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่งอัลเบิร์ตได้รับแจ้งว่าเป็นเดือนกรกฎาคมหรือสิงหาคม

จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถตัดวันที่ทั้งห้านี้ออกไปได้ – 15 พฤษภาคม 16 พฤษภาคม 19 พฤษภาคม 17 มิถุนายน และ 18 มิถุนายน

วันที่เหลืออยู่: 14 กรกฎาคม, 16 กรกฎาคม, 14 สิงหาคม, 15 สิงหาคม และ 17 สิงหาคม.

[บรรทัดที่ 9] เบอร์นาร์ด: ตอนแรกฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ตอนนี้ฉันรู้แล้ว

เมื่อได้ยินคำพูดของอัลเบิร์ต เบอร์นาร์ดก็เริ่มเข้าใจสิ่งนี้

ถ้าเบอร์นาร์ดบอกว่าวันที่ 14 ก็ยังไม่แน่ใจว่าเป็นเดือนกรกฎาคมหรือสิงหาคม ดังนั้นคุณตัดความเป็นไปได้ที่เขาจะไม่ได้บอกว่า 14 ออกไปได้

ตอนนี้คุณเหลือวันที่สามคือวันที่ 16 กรกฎาคม 15 สิงหาคม และ 17 สิงหาคม

[บรรทัดที่ 10] อัลเบิร์ต: แล้วฉันก็รู้ด้วยว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน

อัลเบิร์ตคงไม่รู้หรอกว่าเดือนสิงหาคม เพราะเดือนสิงหาคมมีสองวัน ดังนั้นคุณคงเดาได้ว่าเขาต้องรู้แน่ๆ ว่าเป็นเดือนกรกฎาคม

ดังนั้นคำตอบคือ วันที่ 16 กรกฎาคม

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในแผนภาพ พื้นที่ของส่วนสีเหลืองคือ 8, 10, 72 และ 79

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีแดง แผนภาพไม่ได้เป็นไปตามมาตราส่วน

• 5

• 6

• 7

• 8

• 9

นิกกี้แบ่งเวลาเพื่ออ่านหนังสือเตรียมสอบ 4 วิชา (คณิตศาสตร์เคมีฟิสิกส์ชีววิทยา)

ใน 3 วัน (จันทร์อังคาร พุธ) โดยแต่ละวิชาจะอ่านเป็นเวลาเพียงครึ่งวันในช่วงเช้าหรือช่วงบ่ายของวันใด

วันหนึ่งเพียงวันเดียว โดยมีเงื่อนไขดังนี้

• ทุกวันอ่านหนังสืออย่างน้อยหนึ่งวิชา

• วิชาเคมีอ่านก่อนวันพุธ

จงหาจํานวนวิธีการจัดตารางอ่านหนังสือของนิกกี้

• 191

• 192

• 193

• 194

เอกต้องการแขวนนาฬิกาและไฟฉุกเฉินที่ผนังสองฝั่งที่อยู่ตรงข้ามกันในโรงยิมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดย

แขวนนาฬิกาสูงจากพื้นโรงยิม 9 ฟุต และแขวนไฟฉุกเฉินสูงจากพื้นโรงยิม 12 ฟุต ถ้าเอกมีบันไดยาว 15

ฟุต โดยวางปลายบันไดที่จุดหนึ่งบนพื้นโรงยิมจะพาดไปที่ผนังเพื่อแขวนนาฬิกาได้พอดี จากนั้นเอกเดินถอย

หลังไป 2 ฟุต จากจุดที่ปลายบันไดอยู่บนพื้นไปทางผนังฝั่งตรงข้าม สามารถวางปลายบันไดที่จุดที่ถอยมา

แล้วพาดไปถึงผนังฝั่งตรงข้ามเพื่อแขวนไฟฉุกเฉินได้พอดี จงหาว่าผนังทั้งสองฝั่งนี้ห่างกันกี่ฟุต

• 21

• 22

• 23

• 24

ครูคํานวณอายุเฉลี่ยของนักเรียน 20 คน ได้เท่ากับ 15.8 ปี ถ้ามีนักเรียนเข้ามาใหม่อีก 5 คน และครูคํานวณ

อายุเฉลี่ยของนักเรียน 25 คน ได้เท่ากับ 16 ปี แล้วจงหาว่าอายุเฉลี่ยของนักเรียนที่เข้ามาใหม่ทั้ง 5 คน

มากกว่าอายุเฉลี่ยของนักเรียน 20 คนเดิมอยู่กี่ปี

• 1

• 2

• 3

• 4

ณ อาณาจักรโกลเดเนีย ชาวเมืองซื้อขายสินค้าโดยใช้สกุลเงินที่เรียกว่า “โกลด์” สกุลเงินนี้มีเหรียญอยู่สาม

ชนิด คือ เหรียญ 5 โกลด์ 7 โกลด์ และ 9 โกลด์ และสินค้าทุกชนิดในอาณาจักรนี้มีราคาเป็นจํานวนนับ

ซึ่งสามารถซื้อขายด้วยเหรียญเพียงสามชนิดนี้เท่านั้น ถ้า p เป็นจํานวนนับที่น้อยที่สุดที่ราคาสินค้าใดก็ตาม

ที่มากกว่าหรือเท่ากับ p ทั้งหมดสามารถจ่ายได้ด้วยเหรียญสามชนิดนี้เท่านั้นโดยไม่ต้องทอนเสมอ จงหา p

• 11

• 12

• 13

• 14

ให้ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส Q เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน CD, P เป็นจุดบนด้าน CD ที่ทําให้ ขนาด

ของ BAPb เป็นสองเท่าของขนาดของ DAQb ถ้า AP = 20 หน่วย และ CP = 4 หน่วย แล้วจงหาความ

ยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ADP

(a)