In den natürlichen Zahlen hat jede Zahl ein inverses Element bezüglich Addition.

In den rationalen Zahlen ist 1/4 das inverse Element der Addition von 4.

In den ganzen Zahlen ist 0 das neutrale Element der Addition.

Die ganzen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich Multiplikation.

$\left\{\frac{p}{q}:\ p\ \inℤ^+,\ q\ \inℤ^{\ -}\right\}$

$\left\{\frac{p}{q}:\ p\ \inℚ,\ q\ \inℤ^{\ }\right\}$

$\left\{\frac{p}{q}:\ p\ \inℤ^+,\ q\ \inℕ\right\}$

$\left\{\frac{p}{q}:\ p\ \inℤ,\ q\ \inℤ_0\right\}$

Alle ganzen Zahlen sind auch reelle Zahlen.

Alle Dezimalzahlen gehören zu den rationalen Zahlen.

Jede Dezimalzahl kann beliebig nah durch eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl angenähert werden.

Jede reelle Zahl kann als Bruch geschrieben werden.

  $$\left(a,b\right)=\left\{x\ \ \in\ \ R\ :\ a\ <x<b\right\}$$  

$$\left(a,b\right]=\left\{x\ \ \in\ \ R\ :\ a\ <x\le b\right\}$$   

$$\left\{x\ \ \in\ \ R\ :\ 1\ <x<5\right\}\subset\left[2,\ 8\right]$$  

$$\left\{x\ \ \in\ \ N\ :\ x<9\right\}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\right\}$$   

 Mit dem Heronverfahren kann man eine reelle Zahl durch eine rationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit annähern.

 Mit dem Heronverfahren kann man eine rationale Zahl durch eine reelle Zahl mit beliebiger Genauigkeit annähern. 

Das Heronverfahren ist ein Iterationsverfahren.  

Beim Heronverfahren wird rekursiv eine immer genauere Näherung von $$\sqrt[]{b}\ \in\ R$$  bestimmt.

 $a_{1\ }=\ 1\ ;\ a_{n\ }=\ \left(a_n+1\right)^2$  

 $a_{n+1}=a_n+2n\ +\ 1\ ;\ a_{1\ }=\ 1$ 

 $a_{n\ }=\ a_{n+1}+n^2$  

$a_{n\ }=\ n\ \cdot\ a_{n-1}\ ,\ a_1=\ 1$

 $a_{n\ }>\ a_{n-1}$  

 $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$  

 $a_{n\ }-\ a_{n-1}\ge0$  

 $\frac{a_{n-1}}{a_n}<1$  

$a_1=1,\ a_{n-1}=\ a_n-0.001$

$a_{n\ }=n^5$

$a_{n\ }=\ 0.1^n$

$a_{n\ }=\ 2n-n^4$

Jede streng monoton wachsende Folge hat eine untere Schranke.

Jede streng monoton wachsende Folge hat keine obere Schranke.

Die Folge $$a_{n\ }=\ 0.1^n$$  ist beschränkt.

Es gibt Folgen, die weder eine untere noch eine obere Schranke haben.

$$a_{n\ }=\ 1$$  

$$a_{n\ }=\ -1$$  

$$a_n=2n\ -\ 1$$  

$$a_n\ =\ 0.5^n$$  

$$a_2=5$$  

$$a_{2\ }=\ 4$$  

$$a_{2\ }=\ 3$$  

$$a_{2\ }=\ 6$$