Free Printable Quiz 5: EDO de segundo orden (lineales y homogéneas)

1.

La ED de la forma $a_n\left(x\right)y^{\left(n\right)}+...+a_0\left(x\right)y\ ^{ }=g\left(x\right)$ representa una EDO de orden n. Para garantizar que existe solución y es única basta con:

a)

garantizar la continuidad de a_n, ..., a_0, g en cierto intervalo I.

b)

Llevarse a la forma estándar y definir nuevas funciones, estas funciones deben ser continuas en cierto intervalo.

c)

No es posible, pues no es una EDO lineal y homogénea.

2.

Para una EDO con coeficientes constantes, como
$y´´\ +Ay´\ +B\ y=\ 0$
¿la función $y\ =\ 0$ es siempre una solución?

a)

Sí.

b)

No.

3.

Para solucionar una EDO lineal homogénea como: $y´´\ +Ay´\ +B\ y=\ 0$
basta con hallar las raíces de la ecuación característica, esto nos lleva a que la solución general puede ser como:

a)

$y\ =\ c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$ r_1, r_2 raíces

b)

$y\ =\ c_1e^{at}+c_2te^{at}$ r=a raíz

c)

$y=e^{at}\left[c_1\cos bt\ +\ c_2\sin bt\right]$ r=a+ib raíz

4.

Dada una EDO como:

$y´´\ +p\left(x\right)y´\ +q\left(x\right)y\ =\ 0$ .
Si y_1 es solución, entonces cy_1 es solución (c es una constante), esto está garantizado por: (Considere la respuesta mejor argumentada).

a)

Porque al hacer la computación, satisface la ED.

b)

Porque es una implicación del principio de superposición.

5.

Para garantizar que L es un operador lineal, este debe cumplir que:

a)

$L\left(x+y\right)\ =\ L\left(x\right)\ +L\left(y\right)$ y $L\left(ax\right)\ =aL\left(x\right)$

b)

Solo bastaría con $L\left(ax\ +by\right)\ =\ aL\left(x\right)\ +\ bL\left(y\right)$

6.

$L\ =\ D^2+D+1$ es un operador lineal. De la respuesta de $L\left(\cos x\right)=\ ?$

a)

$D^2\cos x\ +\ D\cos x\ +\ \cos x$

b)

$2\cos x\ -\sin x$

c)

$-\sin x$

7.

Dada $y´´\ +p\left(x\right)y´+q\left(x\right)y=0$ . Suponer que $y_1,\ y_2$ son soluciones linealmente independientes (es decir, ninguna es múltiplo escalar de la otra). Si se afirma que $\left\{c_1y_1+c_2y_2\right\}$ es el conjunto de todas las soluciones, esto es

a)

cierto, pues por el principio de superposición, la combinación lineal es solución, y por el teorema de existencia y unicidad garantiza que ahí están todas las soluciones.

b)

cierto, pues, como se tiene una combinación lineal de las soluciones, también es una solución.

c)

cierto, por el principio de superposición, y como c_1 y c_2 son constantes arbitrarias, entonces, ahí están todas las soluciones.

8.

Suponer que $u\left(x\right),\ v\left(x\right)$ son soluciones (como funciones reales) a una EDO de la forma $y´´\ +Ay´\ +By\ =\ 0$
entonces, si se afirma que: $u\ +iv$ es solución a la EDO, esto es:

a)

Falso, pues, esta nueva función es compleja, y las soluciones deben ser reales.

b)

Verdad, pues el principio de superposición lo garantiza.

c)

Verdad, pues haciendo el cálculo directo, esta nueva función satisface la EDO.

9.

Tome $y_1=\sin x,\ y_2=\ \cos x$ . Los Wronskianos $W\left(y_{1,}y_2\right)$ y $W\left(y_2,y_1\right)$ son respectivamente

a)

-1,1

b)

1,-1

c)

0

10.

Considere $y_1,\ y_2$ . Del ejercicio anterior, se podría concluir que $W\left(y_1,y_2\right)\ =\ -W\left(y_2,\ y_1\right)$ . Esto en general es:

a)

Cierto, pues haciendo un cálculo directo se demuestra.

b)

Falso, pues existen funciones que no cumplen esta propiedad.

11.

Dadas $y_1\left(x\right),\ y_2\left(x\right)$ . Se puede afirmar con certeza que:

a)

Para todo x, $W\left(y_1,\ y_2\right)\ =0$ o que $W\left(y_1,\ y_2\right)\ \ne0$

b)

que $W\left(y_1,\ y_2\right)\ =0$ o $W\left(y_1,\ y_2\right)\ \ne0$ para ciertos x.

c)

que $W\left(y_1,\ y_2\right)\ =0$ cuando una función es múltiplo escalar de la otra.

Quiz 5: EDO de segundo orden (lineales y homogéneas)

Total questions: 11

Worksheet time: 17mins

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