Free Printable ENVIII-Matematică-Test 16-Subiectul III

1.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Determinaţi perimetrul patrulaterului ABCD.

a)

$P_{ABCD}=L+l=16\ cm.$

b)

$P_{ABCD}=L+l+L+l=32\ cm$

2.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

a)

Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN ⇒E este la mijlocul segmentului MN.

b)

Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN ⇒ E este piciorul perpendicularei dusă din D pe dreapta MN⇒ DE ⊥ MN.

3.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că ∆DEN este dreptunghic isoscel.

a)

MN în ∆MNP cu t. Pitagora ⇒ $MN=6\sqrt{2}cm.$

b)

MN în ∆MNP cu t. Pitagora ⇒ $MN=10\ cm.$

4.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN.Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

a)

Construim MF⊥DN , înălţime în ∆DMN ⇒ MF = AB = 6 cm.
Determinăm înălţimea DE în ∆DMN , folosind aria triunghiului.
$A_{∆DMN}=\frac{b·h}{2}⇒$
$\frac{DN·MF}{2}=\frac{MN·DE}{2}$ ⇒ $DE=4\sqrt{2}cm.$

b)

Construim MF⊥DN , înălţime în ∆DMN ⇒ MF = AB = 6 cm.
Determinăm înălţimea DE în ∆DMN , folosind aria triunghiului.
$A_{∆DMN}=\frac{b·h}{2}$ ⇒

$\frac{DN\ ·\ MF}{2}=\frac{MN\ ·\ DE}{2}$ ⇒ $DE=8\sqrt{2}cm.$

5.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

a)

NE în ∆DEN cu T. Pitagora ⇒ $NE=4\sqrt{6}cm.$
$DE=4\sqrt{2}cm$ , m∢DEN=90°⇒
∆DEN este dreptunghic.

b)

NE în ∆NED cu T.Pitagora ⇒ $NE=4\sqrt{2}cm.$
$NE=DE=4\sqrt{2}cm$ , m∢DEN=90°⇒

∆DEN dreptunghic isoscel.

6.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că , dacă BP ⊥ MN, P ∈ MN , atunci BEDP este paralelogram.

a)

$DE=4\sqrt{2}$
DE ⊥MN, BP ⊥ MN ⇒DE ∥ BP
Determinăm lungimea lui BP.
Observăm că DN ∥ BP şi secanta MN
⇒m∢DNE=m∢BME=45°
BP⊥MN⇒∆BPM dreptunghic isoscel
BP în ∆BPM, m∢P=90° , $\sin∢M=\frac{BP}{BM},\ \ \ \ \sin45°=\frac{BP}{8}$

$BP=4\sqrt{3}cm.$

b)

$DE=4\sqrt{2}$
DE ⊥MN, BP ⊥ MN ⇒DE ∥ BP
Determinăm lungimea lui BP.
Observăm că DN ∥ BP şi
secanta NM
⇒m∢DNE=m∢BME=45°
BP⊥MN
⇒∆BPM dreptunghic isoscel
BP în ∆BPM, m∢P=90°, $\cos∢B=\frac{cat.alăt}{ip}⇒\cos45°=\frac{BP}{BM}$
$BP=4\sqrt{2}cm$
BP=DE
BP ∥ DE ⇒
BPDE paralelogram

7.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi lungimea segmentului AC.

a)

AC diagonală în pătrat ⇒ $AC=l\sqrt{2}=10\sqrt{2}cm.$

b)

AC diagonală în pătrat⇒ $AC=l\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ cm.$

8.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Demonstraţi că planele (MNP) şi (BDV) sunt paralele.

a)

Două plane sunt paralele, dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte concurente din celălalt plan.
MP linie mijlocie în ∆BCV ⇒MN ∥ VB
PN linie mijlocie în ∆DCV ⇒NP ∥ VD
⇒ (MNP) ∥ (ABC).

b)

Două plane sunt paralele, dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte concurente din celălalt
plan.
MN ∥ VB
NP ∥ VD
⇒ (MNP) ∥ (ABC).

9.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta VM şi planul (ABC).

a)

Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan este egală cu măsura unghiului dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.
Proiecţia lui V pe planul (ABCD) este O.
Proiecţia lui M pe planul (ABCD ) este M, deoarece M∈ (ABCD).
m∢ (VM, (ABCD))= m ∢(VM, OM)=m∢OVM.

b)

Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan este egală cu măsura unghiului dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.
Proiecţia lui V pe planul (ABCD) este O.
Proiecţia lui M pe planul (ABCD ) este M, deoarece M ∈ (ABCD)
m∢ (VM, (ABCD)) = m∢ (VM, OM) = m∢VMO.

10.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta VM şi planul (ABC).

a)

m∢(VM, OM) = m∢VMO în ∆VMO, m ∢O=90°, cu tg∢VMO
OM este linie mijlocie în ∆ABC⇒ $OM=\frac{AB}{2}=5\ cm.$
$tg∢VMO\ =\frac{cat.alăturată}{cat.opusă}=$

$\frac{O\ M}{VO}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
⇒m∢(VMO)=30°
m∢(VM, (ABCD))=m∢(VM, OM)=m∢VMO=30°.

b)

m∢(VM, OM) = m∢VMO în ∆VMO, m ∢O=90°, cu tg∢VMO

OM linie mijlocie în ∆ABC⇒ $OM=\frac{AB}{2}=5cm$ . $tg∢VMO=\frac{cat.opusă}{cat.alăturată}=$
$\frac{VO}{OM}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$ ⇒m∢(VMO)=60°

m∢(VM, (ABCD))=m∢(VM, OM)=m∢VMO=60°.

ENVIII-Matematică-Test 16-Subiectul III

Total questions: 10

Worksheet time: 40mins

Similar Resources on Wayground