. In uno studio si vuole valutare se il consumo di caff`e aumenti o meno il rischio di infarto miocardico. La tabella riporta i dati rilevati in una piccola citt`a, dove 126 soggetti hanno avuto un infarto miocardico mentre 2674 soggetti non l’hanno mai avuto. Il consumo di caff`e `e stato classificato come moderato (numero di tazzine al giorno minore o uguale a 3) o forte (numero di tazzine al giorno maggiore di 3).

Determinare se un forte consumo di caff`e sia un fattore di rischio per l’infarto miocardico.

(a)  

Bruno, Carlo, Antonio, Stefano fanno una gara di corsa tra loro, quante sono tutte le possibili classifiche fina

(a)  

Supponiamo che un esame consista di 4 esercizi e che questi esercizi vengano scelti da documento che ne contiene 20. Quanti diversi testi d’esame di possono costrui

(a)  

I microonde prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuale del 2% e 8% rispettivamente.

a. Qual `e la probabilit`a che un microonde presenti entrambi i difetti?

b. Qual `e la probabilit`a che un microonde sia difettoso?

(a)  

Supponiamo che la probabilit`a che un individuo scelto a caso sia un fumatore sia 0.25. Qual `e la probabilit`a che almeno cinque individui, su dieci scelti a caso, siano fumatori? Qual `e la probabilit`a che il numero di fumatori sia compreso tra 2 e 5 (inclusi)?

(a)  

Sapendo che il 30% dei passeggeri, cha hanno prenotato un volo, non si presenta alla partenza, una compagnia aerea accetta fino a 27 prenotazioni su un volo con capienza 24 posti. Qual `e la probabilit`a che almeno un passeggero (che ha prenotato) rimanga a terra?

(a)  

Sia X ∼ N (0, 1), calcolare:

a. P(X > −1.77);

b. P(−0.79 < X < 1.52)

(a)  

Ad un esame di lettere, la media e la varianza dei voti sono state 25 e 9, rispettivamente. Supponendo che i voti (X) all’esame abbiano distribuzione normale:

a. calcolare P(23 ≤ X ≤ 27)

b. determinare c tale che P(X < c) = 0.90

(a)  

Un questionario viene somministrato ad un gruppo di studenti. Sapendo che ad ogni risposta esatta `e attribuito un punto e che i punteggi realizzati dal gruppo di studenti si distribuiscono normalmente con media 80 e deviazione standard 10, qual `e il numero minimo di risposte esatte che uno studente deve fornire per posizionarsi entro il 10% dei migliori studenti del gruppo?

(a)  

Per gli individui al di sotto dei 40 anni, il tempo tra il rilascio dalla prigione e l’incriminazione per un altro crimine ha distribuzione normale con media 30 mesi e deviazione standard 6 mesi. Qual `e la probabilit`a che un individuo sia incriminato per un altro crimine entro due anni dal rilascio? Dopo quanti anni dal rilascio, la probabilit`a di una nuova incriminazione `e 0.05?

(a)  

Nella donna, la durata della gravidanza, dal concepimento alla nascita, ha distribuzione normale con media 266 giorni e deviazione standard 16 giorni. Calcolare la probabilit`a che una gravidanza non duri pi`u di 290 giorni.

(a)  

Una popolazione formata da dipendenti maschi presenta dei pesi corporei (in Kg) di media 75 e deviazione standard 8. Se si seleziona un campione di 36 individui, quanto vale circa la probabilit`a che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 73 e 77? Quanti individui bisogna campionare affinch´e la probabilit`a che la media campionaria dei loro pesi sia maggiore di 78 sia pari a 0.02?

(a)  

Il tempo che una cassiera concede ad ogni cliente segue una distribuzione normale di media µ = 5 minuti. E’ noto inoltre che la probabilit`a che il tempo concesso a ciascun cliente sia inferiore a 3.2 minuti, `e pari a 0.21. Sulla base di un campione di ampiezza n = 25 clienti, determinare la probabilit`a che, nel campione, il tempo medio concesso a ciascun cliente superi i 6 minuti.

(a)  

E noto che, nei maratoneti, la percentuale di grasso corporeo ab ` bia media 10.8% e deviazione standard 1.7%.

a. Quanto valgono il valore atteso e la varianza della percentuale media del grasso corporeo in 100 maratoneti?

b. Quale dovrebbe essere la dimensione del campione per avere un errore standard di 0.1?

c. Qual `e la probabilit`a percentuale media del grasso corporeo di 150 maratoneti sia inferiore a 10.4%?

d. Qual `e la probabilit`a percentuale media del grasso corporeo di 100 maratoneti sia compresa tra 10.4% e 11.1%?

(a)  

Due metodi di insegnamento (A e B) vengono confrontati esaminando i punteggi ottenuti alla fine del corso dai soggetti assegnati in maniera casuale al gruppo A oppure al gruppo B (maggiore il punteggio, migliori le prestazioni). Si suppone che i punteggi abbiano distribuzione normale di media 77 e deviazione standard 12, nel caso del gruppo A, e di media 89 e deviazione standard 9, nel caso del gruppo B. Se si assegnano casualmente 9 soggetti al gruppo A e 12 soggetti al gruppo B, qual `e la probabilit`a che la differenza tra i punteggi medi ottenuti dal gruppo B rispetto al gruppo A sia maggiore di 15?

(a)  

Un gruppo di ricercatori vuole studiare la differenza tra la perdita di peso ottenuta con un regime dietetico e quella ottenuta con l’esercizio fisico. E noto che la perdita di peso abbia media ` 7.2 kg e deviazione standard 3.7 kg, nel caso di un regime dietetico, ed abbia media 4.0 kg e deviazione standard 3.9 kg, nel caso dell’esercizio fisico. I ricercatori valutano l’effetto della dieta su n1 = 42 uomini e l’effetto dell’esercizio fisico su altri n2 = 47 uomini. Qual `e la probabilit`a che la differenza media di perdita di peso tra il gruppo che segue la dieta e il gruppo che pratica esercizi fisici sia minore di 1.94 kg?

(a)  

Determinare la tipologia (nominale, ordinale, discreta, continua) delle variabili presenti nei dati di tumore al seno

(a)  

Utilizzando i dati di pazienti affetti da cirrosi biliare primitiva della Sezione 1.2, calcolare le frequenze, le frequenze relative e le frequenze ralative cumulative della variabile trigliceridi, usando le seguenti classi: 50 ⊣ 110, 110 ⊣ 170, 170 ⊣ 230, 230 ⊣ 290, 290 ⊣ 350.

(a)  

. Utilizzando i dati di pazienti affetti da cirrosi biliare primitiva della Sezione 1.2, calcolare la media di: trigliceridi, trigliceridi-7 e 0.4·trigliceridi.

(a)  

Utilizzando i dati di pazienti affetti da cirrosi biliare primitiva della Sezione 1.2, calcolare il campo di variazione, la varianza, la deviazione standard e la differenza interquartile della variabile bilirubina, per i pazienti con stadio=3 e per i pazienti con stadio=4 (separatamente). Guardare grafico su ese

(a)  

Sia data la seguente retta di regressione y = 4 + 0.5x, calcolata sulla base di 10 osservazioni congiunte delle variabili X e Y . Sapendo che la varianza di X `e 3, calcolare la somma dei quadrati spiegata.

(a)  

La seguente tabella riporta i dati dell’et`a di 10 coppie di sposi. Si trovi la retta di regressione dell’et`a dei mariti sulla base dell’et`a delle mogli e si calcoli l’indice R2 per valutare la bont`a di adattamento della retta ai dati osservati.

(a)  

I dati nella tabella mostrano il risultato di un esperimento condotto per studiare l’effetto su animali di laboratorio di una vaccinazione contro una certa malattia. Calcolare l’indice chi-quadrato per vedere se esiste una associazione tra l’ammalarsi delle cavie e l’avvenuta o meno vaccinazione.

(a)  

. La seguente tabella riporta i dati di due variabili X e Y basati su 100 osservazioni congiunte.

a. le frequenze relative marginali di Y ;

b. le frequenze assolute congiunte osservate ed attese di (X ∈ A3, Y ∈ B3);

c. le frequenze relative congiunte osservate ed attese di (X ∈ A2, Y ∈ B2);

d. il termine della sommatoria dell’indice chi-quadrato relativo a (X ∈ A1, Y ∈ B1).

(a)  

Un gruppo di pazienti si `e lamentato di non riuscire a dormire bene. Ad alcuni sono state date delle pillole di sonnifero, mentre ad altri delle pillole di zucchero (bench´e sia stato detto loro che si trattava di pillole di sonnifero). E stato chiesto in seguito se le pillole fossero state utili o meno. La ` tabella riporta i risultati delle risposte. Assumendo che tutti i pazienti abbiano detto la verit`a, calcolare l’indice chi-quadrato per valutare se le pillole di sonnifero e quelle di zucchero abbiano avuto un effetto diverso sul sonno dei pazienti.

(a)  

Una moneta truccata (con probabilit`a di avere croce pari a 0.65) viene lanciata n volte. Quanti lanci bisogna effettuare affinch´e la probabilit`a di ottenere n teste sia uguale a 0.015?

(a)  

Una marca produttrice di cereali inserisce un premio ogni 4 scatole di cereali. Quante scatole bisogna comprare per ricevere in media 6 premi?

(a)  

Tra le 2 e le 4 del pomeriggio, il numero medio di chiamate telefoniche che arrivano ad un certo centralino `e di 25 ogni 10 minuti. Trovare la probabilit`a che, in un minuto, ci siano:

a. 3 chiamate telefoniche;

b. pi`u di 6 chiamate telefoniche;

c. un numero di chiamate telefoniche compreso tra 2 e 5 (entrambi inclusi)

(a)  

Un venditore di assicurazioni sulla vita vende in media 4 assicurazioni a settimana. Calcolare la probabilit`a che in una data settimana il venditore venda almeno una polizza. Assumendo che in una settimana ci siano 5 giorni lavorativi, qual `e la probabilit`a che in un dato giorno lui venda una sola polizza?

(a)  

La durata di vita X (in mesi) di una batteria segue una distribuzione esponenziale con parametro λ = 1 6 . Calcolare la probabilit`a che la batteria abbia una durata di almeno 3 mesi dato che `e gi`a durata un mese. Qual `e la probabilit`a che su 30 batterie meno di 3 durino pi`u di 12 mesi?

(a)  

Il tempo di vita X (in anni) di un certo tipo di televisore `e una variabile esponenziale con media 10. Se un individuo ha acquistato questo tipo di televisore pi`u di 10 anni fa, qual `e la probabilit`a che il suo televisore durer`a per almeno altri 10 anni?

(a)  

. Supponiamo che un test diagnostico per l’anemia dia i seguenti risultati su 588 individui:

a. Calcolare la sensibilit`a e specificit`a del test.

b. Calcolare la prevalenza della malattia.

c. Calcolare la probabilit`a che il test sia positivo.

d. Calcolare il valore predittivo positivo del test.

(a)  

Un test diagnostico viene somministrato a 210 individui e, tra di essi, il numero dei veri positivi `e 91 e il numero dei falsi negativi `e 9. Inoltre, il test risulta positivo in 97 casi. Calcolare: la sensibilit`a del test, la prevalenza e il valore predittivo positivo del test.

(a)  

. Si assuma che la sensibilit`a di un test per una determinata patologia sia 0.94 e che la sua specificit`a sia 0.80. Si assuma anche che la patologia abbia una prevalenza di 0.15 nella popolazione. Calcolare la probabilit`a che, in generale, il test sia negativo. Quanto vale il valore predittivo negativo del test? Quanto vale il valore predittivo negativo del test?

(a)  

Una industria produce un test per identificare l’utilizzo di steroidi negli atleti. Il 95% delle volte, il test identifica come positivo un atleta che utilizza eritropoietina. Un ciclista risulta positivo al test e si sa che:

1) il 15% degli atleti che non utilizzano l’eritropoietina `e positivo al test;

2) il 10% dei ciclisti della squadra dell’atleta testato usa l’eritropoietina.

Qual `e la probabilit`a che il ciclista positivo al test abbia utilizzato l’eritropoietina?

(a)  

Un’azienda compra resistenze da due diverse ditte A e B, con probabilit`a 1/3 e 2/3, rispettivamente. Sapendo che A dichiara un difetto ogni 50 e B uno ogni 100:

a. qual `e la probabilit`a che una resistenza sia difettosa dato che proviene dalla ditta A?

b. qual `e la probabilit`a che una resistenza sia difettosa? c. qual `e la probabilit`a che, avendo osservato una resistenza difettosa, questa sia stata acquistata da A?

(a)  

Un gruppo di amici sono soliti frequentare una sala cinematografica che proietta film di prima visione per il 60% e film d’essay per il 40% della programmazione. Il gruppo di amici va al cinema con probabilit`a pari a 0.4 nel caso in cui sia in programma un film di prima visione e con probabilit`a pari a 0.7 nel caso di film d’essay. Sapendo che mercoled`ı scorso il gruppo di amici `e andato al cinema, con che probabilit`a il film era di prima visione?

(a)  

Le previsioni del tempo per domani sono le seguenti: temporali con probabilit`a 0.3, tempo incerto con probabilit`a 0.5, bel tempo con probabilit`a 0.2. Un insegnante arriva al lavoro in ritardo con probabilit`a 0.8 se ci sono temporali, con probabilit`a 0.4 se il tempo `e incerto, con probabilit`a 0.2 se c’`e bel tempo. Calcolare:

a. la probabilit`a che domani l’insegnante arriver`a al lavoro in ritardo;

b. la probabilit`a che domani il tempo sia incerto nel caso in cui il lavoratore arrivi in ritardo.

(a)  

Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione di X e Y date le seguenti osservazioni:

(a)  

Seguire la traccia dell'immagine:

(a)  

Seguire la traccia:

(a)  

Seguire la traccia del problema:

(a)  

Seguire la traccia del problema:

(a)  

E stato scoperto che l’aggiunta di un determinato composto chimico ` ad un certo fertilizzante permette di aumentare la quantit`a delle fragole ottenibile da ogni singola unit`a di fertilizzante. Un esperimento viene condotto introducendo il composto e misurando poi la quantit`a di fragole prodotta da 5 unit`a di fertilizzante. I risultati (in grammi di fragole per unit`a di fertilizzante) sono i seguenti: 229, 255, 280, 203, 229. Stimate un intervallo per la media della quantit`a di fragole ottenuta dai 5 fertilizzanti utilizzati, ad un livello di confidenza del 99%, assumendo che la quantit`a di fragole prodotte abbia distribuzione normale.

(a)  

Una partita di bulloni presenta un diametro medio µ incognito. La varianza del diametro dei bulloni invece `e nota e pari a 0.01 cm2 . Si estrae un campione di n = 1000 bulloni, sui quali si osserva un diametro medio pari a 1.2 cm.

a. Si determini l’intervallo di confidenza per µ con un livello di confidenza del 99%.

b. Si determini l’ampiezza di tale intervallo.

(a)  

Si vuole stimare la spesa media mensile per gli spostamenti delle famiglie di un piccolo paese. Un campione di n=100 famiglie `e caratterizzato da una spesa media di 60 euro. Assumendo che la spesa segue una distribuzione normale con varianza 128, determinare l’intervallo di confidenza per la spesa media di tutte le famiglie del paese per i livelli di confidenza 90% e 95%.

(a)  

Un gruppo di medici, in uno studio su soggetti sani, ha misurato il flusso ematico coronarico (FEC) (ml/min/g) durante un esercizio in bicicletta prima e dopo aver dato ai soggetti l’equivalente di due tazze di caff`e (200 mg di caffeina). I risultati sono mostrati in tabella:

Assumendo che il FEC abbia una distribuzione normale, trovare l’intervallo di confidenza al 99% per la differenza di FEC prima e dopo l’assunzione di caffeina.

(a)  

. In uno studio riguardo la dipendenza da nicotina, si vuole valutare se i fumatori siano pi`u dipendenti degli ex-fumatori. Per valutare la dipendenza, viene utilizzato un questionario chiamato Hooked on Nicotine Checklist (HONC): maggiore `e il punteggio al questionario e maggiore `e la dipendenza. In un campione di 75 fumatori, la media campionaria dei punteggi risulta essere 5.9, mentre in 257 ex-fumatori, risulta essere 1. Si assuma che la deviazione standard del punteggio al questionario sia nota e sia pari a 3.3 per i fumatori e a 2.3 per gli ex-fumatori. Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media dei punteggi tra i fumatori e gli ex-fumatori.

(a)  

Un campione di 144 nuove lampadine presenta una durata di vita media di 578 ore, mentre un campione casuale di 64 vecchie lampadine presenta una durata di vita media di 551 ore. Si assuma che la durata delle lampadine abbia distribuzione normale con deviazione standard pari a 22 ore, per le nuove lampadine, e pari a 33 ore, per le vecchie. Calcolare l’intervallo di confidenza a livello 0.95 per la differenza tra le durate di vita media tra le lampadine nuove e quelle vecchie.

(a)