כן, בהוספת RAA

כן, בהוספת כללים נוספים ש"יבטלו" את הכללים הלא נאותים הקודמים

לא

לא ניתן לדעת

שאין סתירה עצמית שניתן להוכיח באמצעות המערכת.

שלכל פסוק α, זה לא נכון ש (α∧¬α)⊣. אי אפשר לדעת אם (α∨¬α)⊣

שלכל פסוק α, זה לא נכון ש (α∧¬α)⊣ ונכון ש(α∨¬α)⊣

שלכל פסוק α, זה נכון ש (α∨¬α)⊣ . אי אפשר לדעת אם (α∧¬α)⊣

מקבוצת הנחות {Γ} נובע α

שמקבוצת הנחות {Δ} נובע α ומקבוצת הנחות {Γ} נובע β

שβ נובע מα∨β

שמקבוצת הנחות {Γ} נובע α ∨β

שמα וקבוצת הנחות {Γ} נובע β~∧β

שמקבוצת הנחות {Γ} נובע α~∧α

שמα~ וקבוצת הנחות {Γ} נובע β~∧β

שα נובע מα

1.נניח ש∆⊨α

2.נניח ש∆,Γ⊨β

3.צריך להראות ש Γ⊨α→β

4.נניח בשלילה שΓ⊭α→β

5.מ3 והגדרת → יש שורה שבה Γ אמיתית וβ שקרית.

6.מ2, בכל שורה שבה Γ אמיתית, β אמיתית.

כן

לא

רק אם אחד הכללים שהוספתי אינו נאות

רק אם כל הכללים שאני מוסיף הם נאותים

כן

לא

לא ניתן לדעת

רק אם X הוא כלל נאות

שכל הכללים שיש בΣ1 יש גם בΣ2

שאם Σ1 נאותה, אז היא יכולה להוכיח את כל מה שΣ2 יכולה להוכיח.

שאם Σ2 נאותה, אז Σ1 יכולה להוכיח את כל מה שΣ2 יכולה להוכיח.

תשובות א'-ג' שגויות.

שאין אף פסוק α שהוא תיאורמה בשתי המערכות הללו

שמערכת שתכלול את כל הכללים בΣ2 וΣ1 יחד תהיה שלמה ונאותה

שלכל פסוק α, הפסוק (α∨¬α) יכיח בΣ2 ו(α∧¬α) לא יכיח ב

Σ1

שלכל פסוק α, הפסוק (α∨¬α) יכיח בΣ1 ו(α∧¬α) לא יכיח בΣ2

בניית המשפט המרכזי

מעבר מהמשפט המרכזי למשפט השלמות החלש

מעבר מהמשפט המרכזי למשפט השלמות החזק

הוכחת המשפט המרכזי

רק אם ניתן להוכיח בה את משפט הדדוקציה

רק אם ניתן להוכיח בה את הלמה החמישית

כן

לא

שניתן להוכיח כל פסוק מקבוצת הפסוקים האטומיים שלו

שאם אפשר להוכיח פסוק כלשהו מקבוצת הפסוקים האטומיים שלו (או שלילתם), אפשר להוכיח את שלילתו מאותה הקבוצה

שאפשר להוכיח את הרישא של פסוק תנאי מקבוצת פסוקים (או שלילתם)

שאפשר להוכיח פסוק אטומי, או שלילתו, מפסוק אטומי, או שלילתו, בהתאם לפשר