Free Printable Vorlesung11

1.

Wie viele Gruppen der Ordnung 4 gibt es (bis auf Isomorphie)?

(a)

2.

Welche der folgenden Gruppen ist zyklisch? $G_{1\ }=\ Z_6\times Z_{10},\ \ \ \ \ \ G_2=Z_6\times Z_{11},\ \ \ \ \ \ \ \ G_3=Z_6\times Z_{12}$

a)

$G_1$

b)

$G_2$

c)

$G_3$

3.

Es seien $\sigma\in S_n$ ein 3-Zykel und $\tau\in S_n$ ein 2-Zykel. Welches Signum hat das Produkt $\sigma\tau$ ?

a)

1

b)

-1

c)

die Antwort hängt davon ab, ob die Zykel elementfremd sind oder nicht.

4.

Es seien G eine Gruppe und $a\in G$ ein Element der Ordnung 10. Was ist die Ordnung von $a^6$ ?

(a)

5.

Es seien $\sigma,\tau\ \in S_n$ Transpositionen. Welche Ordnungen sind für das Produkt $\sigma\tau$ unter dieser Voraussetzung alle möglich?

a)

1,2,3,4,5,6

b)

1,2,3,4

c)

1,4

d)

2

e)

1,2,3

6.

Wahr oder falsch? Für alle Gruppenhomomorphismen $\phi\ :\ G\ \longrightarrow\ H$ ist $Bild\left(\phi\right)$ ein Normalteiler in H.

a)

Wahr

b)

Falsch

7.

Es sei $D_5$ die Diedergruppe des regelmäßigen 5-Ecks. Welche Ordnung hat die Gruppe $G\ =\ A_3\times D_5\times\left(\frac{S_4}{V_4\ }\right)$ ?

(Hier ist die Faktorgruppe S4/V4 gemeint)

(a)

8.

Wahr oder falsch? Operiert eine Gruppe G transitiv auf einer Menge X mit |X| = 9, so muss $\left|G\right|\in\left\{1,3,9\right\}$ sein.

a)

Wahr

b)

Falsch

9.

Wahr oder falsch? Operiert eine Gruppe G mit |G| = 9 transitiv auf einer Menge X, so muss $\left|X\right|\in\left\{1,3,9\right\}$ sein.

a)

Wahr

b)

Falsch

10.

Wahr oder falsch? Ist G eine Gruppe der Ordnung 49, so ist G einfach.

a)

Wahr

b)

Falsch

11.

Es seien G eine Gruppe, U eine Untergruppe und a,b Elemente aus G. Was ist i.A. nicht äquivalent zu aU = bU?

a)

$\exists\ u_1,u_2,u_3\ \in U\ \ \ mit\ \ \ au_1=bu_2u_3$

b)

$ab\in U$

c)

$aU\subseteq bU$

Vorlesung11

Total questions: 11

Worksheet time: 11mins

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