Το μηδενικό πολυώνυμο

Αν υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) δια του x - ρ τότε :

Η ισότητα : $$x^3=x\left(x^2-x\right)+x^2$$   εκφράζει τον αλγόριθμο της ευκλείδειας διαίρεσης $$x^3:\ \left(x^2-x\right)$$   

Aν Ρ(x) = (x-1)(x-2) (x-3) + x τότε για καθένα από τους αριθμούς 1 , 2 , 3 ισχύει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) δια του χ -ρ ισούται με ρ. ( ρ = 1 ή 2 ή 3)

Αν Ρ(χ) = $$\left(x^2-2x\right)\left(x^4+1\right)-5x^3$$  . το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(χ) :( $$x^4+1$$ ) ισούται με

Aν το πολυώνυμο Ρ(χ) = ( x -3)( $$7x^{5\ }+6x^3-x+2$$  ) + 2a - 4 έχει παράγοντα το

x -3 τότε α =

Αν Ρ(x) = (x-4) $$\left(x^4+4\right)$$   τότε το υπολόιπο της διαίρεσης του Ρ(x) :(x -4) ισούται με

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου $$Ρ\left(x\right)=x^7-6x^5+x^2-2$$  είναι

Η εξίσωση $$x^{3\ }-x^2+1$$   = 0 δεν έχει ακέραιες λύσεις.