Font size
WorksheetsMatma Inż
Total questions: 78
Worksheet time: 57mins
Sprawdź, jaki rodzaj punktu stacjonarnego ma funkcja Q(x) = x1^2 - 2x2^2 w punkcie x=(0,0)
Minimum
Maksimum
Punkt siodłowy
Nie można określić
Wykorzystując algorytm Gaussa-Seidela (relaksacyjny) numerycznego poszukiwania ekstremum funkcji, należy oszacować długość kroku lambda, jaki należy wykonać wzdłuż osi x1 startując z punktu x^0=(0,0), aby zbliżyć się do punktu maksymalnego funkcji Q(x) = x1·x2 + x1 + x1^2 + x2^2
λ = -1
λ = -0,5
λ = 0
λ = 0,5
λ= 1.
Dla funkcji zdefiniowanej jako Q(x) = x1·x2 + x1 + x1*2 + x2^2 i wybranej długości kroku lambda wartość funkcji celu w nowym punkcie będzie wynosiła
Q(x1 ) = -1
Q(x1 ) = -0,25
Q(x1 ) = 0,25
Q(x1 ) = 1
Wiadomo, że funkcja Q(x)=6x - 3x^2 - 2x^3 jest wypukła i należy znaleźć jej minimum na przedziale <0,2>. Na podstawie pochodnej funkcji Q'(x=1) należy zdecydować, jak zawęzić przeszukiwany przedział. Kolejno przeszukiwanym przedziałem powinien być
a. <0,1>
b. <1,0>
c. żaden z powyższych.
<1,2>
W najbliższym czasie należy przeprowadzić obsługi trzech samochodów. Mogą to wykonać tylko 2 osoby. Czas obsługi samochodów przez poszczególnych pracowników przedstawiono w tabel. Jak przydzielić pracowników do obsługi samochodów, aby sumaryczny czas pracy był jak najkrótszy. Jeden pracownik może wykonywać obsługę co najwyżej 2 samochodów.
Należy zdecydować, ile zmiennych powinno być w modelu matematycznym pozwalającym optymalizować problem (nie należy liczyć warunku x > 0):
2 zmienne
3 zmienne
5 zmiennych
6 zmiennych
W odniesieniu do treści zadania z pytania 5, ile ograniczeń będzie posiadał model:
1
2
3
6
Przedsiębiorstwo wytwarza dwa rodzaje produktów na dwóch obrabiarkach O1, O2 i frezarce F. Czas pracy tych maszyn jest ograniczony i wynosi dla obrabiarki O1 18 tysięcy maszynogodzin, dla O2 - 40 tysięcy maszynogodzin, a dla frezarki F - 24 tysiące maszynogodzin. Zużycie czasu pracy maszyn (w maszynogodzinach) na produkcję jednostki każdego wyrobu podane jest w tabeli. Należy zaplanować optymalną strukturę produkcji z punktu widzenia maksymalizacji zysku ze sprzedaży przy uwzględnieniu istniejących ograniczeń. W związku z tym należy zdecydować ile zmiennych będzie miał model matematyczny zagadnienia (nie należy liczyć warunku x > 0)
2 zmienne
3 zmienne
5 zmiennych
6 zmiennych
W odniesieniu do treści zadania z pytania 7, ile ograniczeń będzie posiadał model:
1
2
3
6
Rozwiązanie optymalne problemu (zad. 7) będzie determinowane przez ograniczenia:
czasu pracy obrabiarek
czasu pracy obrabiarki i frezarki
czasu pracy frezarki
żadne z powyższych
Częstotliwość próbkowania wynosi 5Hz. Którą z funkcji można poprawie odtworzyć z próbek pobranych z taką częstotliwością?
okresie 0,2 s
okresie 0,3 s
okresie 0,4 s
okresie 0,5 s
Efekt Runge'go (w interpolacji) polega na tym, że:
funkcja interpolująca staje się nieciągła
funkcja interpolująca ma na krańcach asymptoty
funkcja interpolująca ma na krańcach asymptoty c. wielomian interpolujący jest funkcją nieparzystą
wielomian w pobliżu krańców przedziału silnie "faluje"
Schemat Aitkena używany jest do
wyznaczania wartości współczynników wielomianu interpolującego
znajdowania pochodnej funkcji dyskretnej w zadanym punkcie
wyznaczania wartości funkcji dyskretnej dla wartości argumentu z wnętrza c. przedziału węzłów
odwracania macierzy funkcji bazowych
Aproksymacja
uwzględnia błędy pomiarów
postać aproksymaty można dobrać dowolnie
aproksymata zawsze przechodzi przez wszystkie węzły funkcji dyskretnej, która aproksymuje
aproksymata może być funkcją interpolującą
Pierwsza pochodna funkcji dyskretnej wyznaczona dla danego węzła metodą różnic skończonych
ma zawsze taką samą wartość dla różnic wstecznych i progresywnych
ma różne wartości, w zależności od użytej metody
dla prawego krańca przedziału nie da się wyznaczyć różnicami wstecznymi
dla prawego krańca przedziału nie da się wyznaczyć różnicami progresywnymi.
Dla funkcji dyskretnej monotonicznie rosnącej całka liczona metoda prostokątów jest:
przy liczeniu różnicami progresywnymi przeszacowana
przy liczeniu różnicami progresywnymi niedoszacowana
przy liczeniu różnicami wstecznymi przeszacowana
przy liczeniu różnicami wstecznymi niedoszacowana.
Metoda Simpsona 1/3
służy do wyznaczania pierwszej pochodnej funkcji dyskretnej
służy do wyznaczania trzeciej pochodnej funkcji dyskretnej
służy do wyznaczania całki oznaczonej z funkcji dyskretnej w przedziale czterech kolejnych węzłów
służy do wyznaczania całki oznaczonej z funkcji dyskretnej w przedziale trzech kolejnych węzłów
W szereg Fouriera można rozwinąć funkcję, która:
jest funkcją ciągłą, okresową
jest funkcją okresową która ma skończoną funkcję punktów nieciągłości I-go rodzaju
jest funkcją ciągłą, nieokresową, monotonicznie rosnącą
jest funkcją nieokresową o skończonej liczbie ekstremów
Metodą bisekcji wyznaczyć można jednoznacznie miejsce zerowe funkcji, która:
w zadanym przedziale jest ciągła, różnowartościowa i ma co najwyżej jedno ekstremum lokalne
w zadanym przedziale jest monotoniczna i różnowartościowa
w zadanym przedziale nie zmienia znaku
na krańcach przedziału ma różne znaki, ale w przedziale ma więcej niż jedno ekstremum lokalne
Metoda stycznych pozwala znaleźć miejsce zerowe funkcji, która w przedziale :
jest ciągła i okresowa
ma na krańcach przedziału jednakowe znaki
jest różnowartościowa
ma stałą co do znaku pierwszą pochodną.
Sprawdź czy funkcja Q(x) = x1^4-2x1 ^2*2x2^2+5x3 ma punkt stacjonarny w punkcie x=(1,0,0)
tak
nie
3.2.Wykorzystując algorytm Gaussa-Seidela (relaksacyjny) numerycznego poszukiwania ekstremum funkcji, należy oszacować długość kroku lambda, jaki należy wykonać wzdłuż osi x2 startując z punktu x^0=(0,0), aby zbliżyć się do punktu maksymalnego funkcji Q(x) = x1·x2 + x1 + x1^2 + x2^2 +2x2
λ = -1
λ = -0,5
λ = 0
λ = 0,5
λ= 1
Dla funkcji Q(x) = x1·x2 + x1 + x1^2+ x2^2 + 2x2 i wybranej długości kroku lambda wartość funkcji celu w nowym punkcie będzie wynosiła
Q(x1 ) = -1
Q(x1 ) = -0,5
Q(x1 ) = 0,5
Q(x1 ) = 1
Wiadomo, że funkcja Q(x)=6x + 3x^2 - 2x^3 jest wypukła i należy znaleźć jej maksimum na przedziale <0,2>. Na podstawie pochodnej funkcji Q'(x=1) należy zdecydować, jak zawęzić przeszukiwany przedział Kolejno przeszukiwanym przedziałem powinien być:
<0,1>
<1,0>
żaden w powyższych
<1,2>
Metoda graficzna rozwiązywania zagadnień programowania liniowego może być stosowana w przypadku optymalizacji celu zależnej od :
(a)
Algorytm simpleksu stosowany do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych jest metodą:
(a)
Zalecana zawartość składnika to 150 jednostek. Ilość ta nie może odbiegać o więcej niż +/- 10% w stosunku do zaleceń. Niech x oznacza ilość składnika. Wskaż poprawną postać warunku:
(a)
Solver jako narzędzie służące do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych jest dodatkiem do programu:
(a)
Przedsiębiorstwo musi wyprodukować nie mniej niż 80 jednostek wyrobu W1. Ilość wyrobu W2 musi być co najmniej dwukrotnie większa niż ilość W1. Niech x1 oznacza wielkość produkcji W1, a x2 wielkość produkcji W2. Wskaż poprawną postać warunku:
(a)
Jako kryterium optymalizacji planu przewozów w zadaniach transportowych najczęściej przyjmuje się:
(a)
Ze względu na istniejące zobowiązania przedsiębiorstwo musi wyprodukować co najmniej 25 jednostek wyroku W1, a także nie więcej niż 35 jednostek wyrobu W2. Niech x1 oznacza wielkość produkcji wyrobu W1, a x2 wielkość wyrobu W2. Wskaż poprawny zapis warunków:
(a)
Analiza czasowo-kosztowa jest to rozszerzona analiza stosowana w metodzie:
(a)
Zakład wytwarza dwa produkty A i B o cenie odpowiednio 5 i 7 zł. Należy opracować dzienny plan produkcji tak, aby zawartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa. Sztuka wyrobu A wymaga 4 min pracy maszyny, natomiast sztuka B - 6 min. Zużycie materiału na sztukę wyrobu A - 2,25kg, a sztukę wyrobu B - 3,75 kg. Wskaż poprawną postać funkcji celu:
(a)
Metoda PERT jest to metoda wykorzystywana przy planowaniu przedsięwzięć, w której:
(a)
Uwarunkowania rynkowe dyktują, aby ilość produktu W1 była co najmniej 3 razy większa niż produktu W2. Niech x1 oznacza wielkość produkcji W1, a x2 wielkość produkcji W2. Wskaż poprawną postać warunku:
(a)
Liczbę warunków ograniczających w zadaniu dualnym ustala się na podstawie liczby:
(a)
) Jak będzie wyglądał warunek ograniczający [2] w zadaniu dualnym, jeżeli zadanie pierwotne wygląda następująco:
(a)
Jak będzie wyglądał warunek brzegowy zmiennej y2 w zadaniu dualnym, jeżeli zadanie pierwotne wygląda następująco:
(a)
Widząc, że maksymalna częstotliwość mierzonego sygnału wynosi 60 Hz, chcąc odtworzyć ten sygnał bez zniekształceń należy próbkować go z częstotliwością nie mniejszą niż
(a)
Cechą charakterystyczną funkcją aproksymującej jest to, że:
(a)
) Jeżeli próbkujemy z częstotliwością 200Hz sygnał o maksymalnej częstotliwości 120Hz, to częstotliwość aliasu sygnału zniekształconego będzie wynosić:
(a)
Jeżeli w procesie dyskretyzacji, a wiec zamiany funkcji ciągłej w ciąg wartości liczbowych, stosuje się kwantowanie to:
(a)
Jeżeli sygnał dyskretny składa się z 10 węzłów, to funkcja interpolująca ten sygnał będzie wielomianem stopnia co najwyżej:
(a)
Która z metod pozwala na sterowanie przebiegiem funkcji aproksymującej tak, aby przebiegała ona bliżej niektórych punktów:
(a)
W celu uniknięcia efektu Runge’go, czyli „rozfalowania” wartości wielomianu interpolującego przy krańcach przedziału, należy:
(a)
Dany jest model optymalizacyjny pewnego problemu dla którego:
(a)
Należy zdecydować ile zmiennych powinno być w modelu matematycznym pozwalającycm optymalizować problem (nie należy liczyć warunku x>0):
(a)
W odniesieniu do treści zadania z pytania 5, ile ograniczeń będzie posiadał model:
(a)
Należy zaplanować optymalną strukturę produkcji z punktu widzenia maksymalizacji zysku ze sprzedaży przy uwzględnieniu istniejących ograniczeń. W związku z tym należy zdecydować ile zmiennych będzie miał model matematyczny zagadnienia (nie należy uwzględniać warunku x>0):
(a)
W odniesieniu do treści zadania z pytania 7, ile ograniczeń będzie posiadał model:
(a)
Rozwiązanie optymalne problemu (zad 7) będzie determinowane przez ograniczenia:
(a)
Funkcja ma okres 0,1s. By po próbkowaniu móc ją poprawnie odtworzyć należy próbkować z częstotliwością:
5 Hz
15 Hz
20 Hz
30 Hz
Mając 10 punktów funkcji dyskretnej można interpolować ją przedziałami wielomianem stopnia:
6
8
10
11
Interpolacja wielomianem Newtona jest stosowana dla funkcji:
ciągłych, monotonicznych w zadanych przedziałach
ciągłych, parzystych
dyskretnych o węzłach równoodległych
dyskretnych o węzłach rozmieszczonych nierównomiernie
W aproksymacji stosowanie wag pozwala na:
obniżenie stopnia wielomianu aproksymującego
uwzględnienie różnicy błedów wartości węzłowych
przybliżenie przebiegu aproksymaty do wybranych węzłów
poprowadzenie aproksymaty przez wszystkie wartości węzłowe
Pochodną funkcji dyskretnej dla danego węzła można wyznaczyć:
rysując styczną do zagęszczonej krzywej w zadanym punkcie
nie da się wyznaczyć bezpośrednio
jako pochodną wielomianu interpolacyjnego rozpiętego na przedziale, zawierającym zadany węzeł,
jako pochodną aproksymaty danej funkcji dyskretnej w zadanym węźle
Całka oznaczona z funkcji dyskretnej w zadanym podprzedziale wartości (wewnątrz wartości węzłowych): [tu nie jestem pewna co jest dobre]
nie istnieje
może być wyznaczona jako całka z funkcji interpolującej
może być wyznaczona jako całka z funkcji aproksymującej
nie da się wyznaczyć bez przybliżenia funkcji dyskretnej jakąś funkcją ciągłą
Metoda Simpsona 3/8 jest algorytmem (dla funkcji dyskretnej):
liczenia pochodnej 3 stopnia wielomianem rozpiętym na 8 punktach
liczenia pochodnej 8 stopnia, wielomianem rozpiętym na 3 punktach
wyznaczania pola pod krzywą trzeciego stopnia interpolującą cztery kolejne węzły
wyznaczania całki oznaczonej z funkcji dyskretnej w przedziale czterech kolejnych węzłów
Dla funkcji parzystej w przedziale <-T/2, T/2> w szeregu Fouriera: [b lub d]
współczynniki przy funkcjach cosinus są zerami
współczynniki przy funkcjach sinus są zerami
Składowa stała jest zerowa
składowa stała jest różna od zera
Metoda siecznych służy do wyznaczania miejsc zerowych w funkcji w przedziale:
ciągłej i określonej
różnowartościowej
bez ekstremów lokalnych
o stałej pochodnej co do znaku
Metoda ‘reguła falsi’ jest algorytmem:
wyznaczania pierwszej pochodnej funkcji w punkcie
regresji liniowej
poszukiwania ekstremum lokalnego
wyznaczania miejsca zerowego funkcji
Czy punkt x=(1,1) spełnia warunki Kuhn’a a-Tucker’a konieczne do tego aby być punktem stacjonarnym funkcji Q(x) = 4x1 + 6x2 – 2x1x2 – 2x1^2 – 2x2^2 przy ograniczeniach nierównościowego: g1 (x) = x1 + x2< 0 i g2 = x2^2 >4?
tak
nie
Wykorzystując algorytm najszybszego spadku numerycznego poszukiwania ekstremum funkcji, należy zdecydować, w którym kierunku należy zrealizować krok d1 (przemieszczenie) startując z punktu x0=(1,1) aby zbliżyć się do punktu maksymalnego funkcji Q(x) = 2x1 +3x2 – x1x2 –x1^2 – x2^2
[-1,0]
[1,0]
[0,-1]
[0,1]
Dla problemu zdefiniowanego w poprzednim zadaniu i wyznaczonego kierunku poszukiwań należy zdecydować jaką długość kroku (przemieszczenia) lambda powinno się wykonać wzdłuż kierunku d1 startując z punktu x0=(1,1) aby zbliżyć się do punktu maksymalnego funkcji Q(x) = 2x1 +3x2 – x1x2 –x1^2 – x2^2:
λ = -1
λ = -0,5
λ = 0
λ = 0,5
Dla problemu optymalizacyjnego określonego w punkcie 2 wylosowano nowy kierunek poszukiwań e1 = [-0,5 1] zgodnie z algorytmem minimalizacji w kierunkach wybieranych losowo. Startując z punktu x 0 = (1,1) dla przyjętej długości kroku lambda =1 wartość funkcji celu Q(x) w nowym punkcie x1 będzie wynosiła:
Q(x1) = 2,25
Q(x1) = 1,75
żadna z możliwości nie jest poprawna
na podstawie danych określonych w zadaniu nie jest możliwe wyznaczenie wartości Q(x1 )
Funkcja Q(x) = -x + x3 ma minimum w przedziale <-1,1> które należy wyznaczyć. Na podstawie pochodnej funkcji Q’(x=0) należy zdecydować, jak zawęzić przeszukiwany przedział poszukiwania. Kolejno przeszukiwanym przedziałem powinien być:
<0,1>
<-1,0>
<-0,5; 0>
żaden z powyższych
Jak zmieszać wymienione gatunki węgla aby uzyskać paliwo o możliwie najniższym koszcie, spełniając wyżej wymienione wymagania? W związku z tym należy zdecydować ile ograniczeń będzie miał model:
2 ograniczenia
3 ograniczenia
5 ograniczeń
6 ograniczeń
Czy rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie jeśli ograniczenie dotyczące ilości potrzebnego paliwa zostanie zniesione?
tak
nie
Częstotliwość próbkowania wynosi 5Hz. Którą z funkcji można poprawie odtworzyć z próbek pobranych z taką częstotliwością?
okresie 0,2 s
okresie 0,3 s
okresie 0,4 s
okresie 0,5 s
Mając 16 punktów funkcji dyskretnej można interpolować ją przedziałami wielomianem stopnia:
6
8
16
18
Interpolację funkcji dyskretnej stosuje się aby:
znaleźć wartość funkcji dla innej wartości argumentu niż węzłowa wewnątrz przedziału wartości znanych
znaleźć pochodną funkcji dyskretnej dla argumentu z wnętrza znanego przedziału
prognozować wartość funkcji poza przedziałem wartości znanych
znaleźć miejsce zerowe funkcji
Punkty Czebyszewa:
stosuje się by uniknąć efektu Shannon’a
należą do zbioru <0,1>
mieszczą się w zbiorze <-1,1>
zagęszczają się na krańcach przedziału
W aproksymacji stosowanie wag pozwala na:
obniżenie stopnia wielomianu aproksymującego
uzwględnienie różnicy błędów wartości węzłowych
przybliżenie przebiegu aproksymaty do wybranych węzłów
poprowadzenie aproksymaty przez wszystkie wartości węzłowe
Pierwsza pochodna funkcji dyskretnej wyznaczona dla danego węzła metodą różnic skończonych:
Ma zawsze taką samą wartość dla różnic wstecznych i progresywnych
ma różne wartości, zależnie od użytej metody
dla prawego końca przedziału nie da się wyznaczyć różnicami wstecznymi
dla prawego końca przedziału nie da się wyznaczyć różnicami progresywnymi
Metoda ‘reguła falsi’ jest algorytmem:
wyznaczania pierwszej pochodnej funkcji w punkcie
regresji liniowej
poszukiwania ekstremum lokalnego
wyznaczania miejsca zerowego funkcji
Funkcja ma okres 0,01s. By po próbkowaniu móc ją poprawnie odtworzyć należy próbkować ją z częstotliwością:
50 Hz
150 Hz
200 Hz
300 Hz
W aproksymacji funkcja aproksymująca:
zawsze przechodzi przez skrajne węzły
musi przechodzić przez wszystkie węzły
może przechodzić przez niektóre wezły
musi przechodzić przez połowę węzłów
Schemat Aitken’a pozwala:
wyznaczyć pochodną funkcji dyskretnej
obniżyć stopień wielomianu interpolującego
odwrócić macierz funkcji bazowych
znaleźć wartość interpolowaną
Efekt Gibbsa to:
nadmiar numeryczny
charakterystyczny obraz transformaty odwrotnej w punktach nieciągłości funkcji pierwotnej
nieciągłość transformaty fouriera
efekt niespełnienia kryterium Nyquist’a
