Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

Егер белгл бр ереже бойынша X жиынының әрбр x элемент Y жиынының жалғыз y элементне сәйкес келсе, онда x жиынында y = f(x) функциясы x = D(f) анықтау аймағымен және y = E(f) өзгеру аймағымен анықталады деп айтылады. Бұл жағдайда x тәуелсз айнымалы немесе функцияның аргумент, ал y тәуелд айнымалы немесе функция деп

саналады.

Функцияның анықталу аймағы үшн шект нүктедег функцияның шег

(функцияның шект мән) - қарастырылып отырған функцияның мән оның аргумент берлген нүктеге ұмтылған кезде ұмтылатын шама.

Математикалық талдаудың негзг ұғымдарының бр.

Егер сол және оң жақтағы шектеулер осы нүктедег функцияның мәнне

тең және тең болса, Функция нүктеде үздксз болады.

Матрицалардың қарапайым

түрлендрулер:

матрицаның ек параллель қатарының орнын

ауыстыру

матрица қатарының барлық элементтерн нөлден басқа санға көбейту

бр санға көбейтлген параллель қатардың тист элементтернң матрицалық қатарының

барлық элементтерне қосу.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын баған. AX=B=>(A‐1A)X=A‐1B=> EX=A‐1B=>X=A‐1B

n - ші ретті матрицаның анықтаушысы

немесе n - ші ретті анықтаушы (анықтауыш) - әрбір жолдан және әрбір бағаннан бір-бірден алынған, белгілі бір белгісі бар n элементтің барлық мүмкін болатын көбейтінділерінің

алгебралық қосындысына тең сан.

Кер матрица-Бұл a -1 матрицасы, оны көбейту кезнде бастапқы а матрицасы нәтижеснде Е матрицасын беред: квадрат матрица ол туылмаған кезде ғана қайтымды болады, яғни оның детерминанты нөлге тең болмайды. Квадрат емес матрицалар мен бұзылған матрицалар үшн кер матрицалар

жоқ.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын

Матрица — ұзындығы брдей m жолдан (немесе

брдей ұзындықтағы бағандардан) тұратын ткбұрышты сандар кестес А матрицасы m x n өлшемд матрица деп аталады.

Матрицалардың түрлер: 1) M = N кезнде-квадрат, бұл жағдайда N матрицаның рет деп аталады; 2) барлық диагональды емес элементтер нөлге тең болатын квадрат матрица – диагональды; 3) барлық диагональды элементтер брлкке тең болатын диагональды матрица – брлк және E белгленед; 4) n≠m – тк бұрышты; 5) M=1 кезнде – матрица-жол (вектор-жол);

6) N=1 кезнде – матрица-баған (вектор-баған. Матрицалардың үстнде сандарға ұқсас қосу, азайту және

көбейту деп аталатын белгл бр әрекеттерд орындауға болады. Сондай – ақ, тек матрицалар үшн анықталатын әрекет бар-бұл матрицаларды транспозициялау және берлген матрицаға кер матрицаны табу. Матрицаларды қосу және

азайту.

Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

=

саны айтылады, мұндағы - мен арасындағы бұрыш.

Анықтама. және векторларының векторлық көбейтндс деп (белглену ), келес шарттарды қанағаттандыратын

векторы айтылады:

а), , – мен арасындағы бұрыш; б) ;

в) – векторлардың оң үштг.

Анықтама. , , , , векторларының аралас көбейтндс деп саны айтылады (яғни және векторлық көбейтндснң нәтижес векторына скаляр көбейтлед). Аралас көбейтнднң геометриялық мағынасы келес

теоремада көрсетлед.

Теорема. , , , , компланар емес векторлардың аралас

көбейтндс модул бойынша , , , , векторларынан құрылған параллелепипедтң көлемне тең. Егер , , , , оң үштк болса, онда ол оң, ал – сол үштк болса, онда

ол терс.

9. Жазықтықтағы және кеңстктег т

Егер белгл бр ереже бойынша X жиынының әрбр x элемент Y жиынының жалғыз y элементне сәйкес келсе, онда x жиынында y = f(x) функциясы x = D(f) анықтау аймағымен және y = E(f) өзгеру аймағымен анықталады деп айтылады. Бұл жағдайда x тәуелсз айнымалы немесе функцияның аргумент, ал y тәуелд айнымалы немесе функция деп

саналады.

Функцияның анықталу аймағы үшн шект нүктедег функцияның шег

(функцияның шект мән) - қарастырылып отырған функцияның мән оның аргумент берлген нүктеге ұмтылған кезде ұмтылатын шама.

Математикалық талдаудың негзг ұғымдарының бр.

Егер сол және оң жақтағы шектеулер осы нүктедег функцияның мәнне

тең және тең болса, Функция нүктеде үздксз болады.

Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

Матрицалардың қарапайым

түрлендрулер:

матрицаның ек параллель қатарының орнын

ауыстыру

матрица қатарының барлық элементтерн нөлден басқа санға көбейту

бр санға көбейтлген параллель қатардың тист элементтернң матрицалық қатарының

барлық элементтерне қосу.

Матрица — ұзындығы брдей m жолдан (немесе

брдей ұзындықтағы бағандардан) тұратын ткбұрышты сандар кестес А матрицасы m x n өлшемд матрица деп аталады.

Матрицалардың түрлер: 1) M = N кезнде-квадрат, бұл жағдайда N матрицаның рет деп аталады; 2) барлық диагональды емес элементтер нөлге тең болатын квадрат матрица – диагональды; 3) барлық диагональды элементтер брлкке тең болатын диагональды матрица – брлк және E белгленед; 4) n≠m – тк бұрышты; 5) M=1 кезнде – матрица-жол (вектор-жол);

6) N=1 кезнде – матрица-баған (вектор-баған. Матрицалардың үстнде сандарға ұқсас қосу, азайту және

көбейту деп аталатын белгл бр әрекеттерд орындауға болады. Сондай – ақ, тек матрицалар үшн анықталатын әрекет бар-бұл матрицаларды транспозициялау және берлген матрицаға кер матрицаны табу. Матрицаларды қосу және

азайту.

B_1, b_2, b_3 еркн сандарға кез-келген бағанның (жолдың)

алгебралық Қосымшаларының көбейтндснң қосындысы жаңа анықтаушыға тең, онда тист %d осы сандармен ауыстырылады.

СЛАУ дәйект болуы үшн жүйенң негзг матрицасының ранг кеңейтлген матрицаның рангне тең болуы қажет және жетклкт, яғни rang ( A ) = rang ( A ) = = r , ал егер r = n - белгсздер саны, онда жүйенң брегей шешм бар, егер r < n болса, онда жүйеде шешмдер

жиынтығы болады.

n - ші ретті матрицаның анықтаушысы

немесе n - ші ретті анықтаушы (анықтауыш) - әрбір жолдан және әрбір бағаннан бір-бірден алынған, белгілі бір белгісі бар n элементтің барлық мүмкін болатын көбейтінділерінің

алгебралық қосындысына тең сан.

Кер матрица-Бұл a -1 матрицасы, оны көбейту кезнде бастапқы а матрицасы нәтижеснде Е матрицасын беред: квадрат матрица ол туылмаған кезде ғана қайтымды болады, яғни оның детерминанты нөлге тең болмайды. Квадрат емес матрицалар мен бұзылған матрицалар үшн кер матрицалар

жоқ.

Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

Матрицалардың қарапайым

түрлендрулер:

матрицаның ек параллель қатарының орнын

ауыстыру

матрица қатарының барлық элементтерн нөлден басқа санға көбейту

бр санға көбейтлген параллель қатардың тист элементтернң матрицалық қатарының

барлық элементтерне қосу.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у.

Кер матрица-Бұл a -1 матрицасы, оны көбейту кезнде бастапқы а матрицасы нәтижеснде Е матрицасын беред: квадрат матрица ол туылмаған кезде ғана қайтымды болады, яғни оның детерминанты нөлге тең болмайды. Квадрат емес матрицалар мен бұзылған матрицалар үшн кер матрицалар

жоқ.

Егер белгл бр ереже бойынша X жиынының әрбр x элемент Y жиынының жалғыз y элементне сәйкес келсе, онда x жиынында y = f(x) функциясы x = D(f) анықтау аймағымен және y = E(f) өзгеру аймағымен анықталады деп айтылады. Бұл жағдайда x тәуелсз айнымалы немесе функцияның аргумент, ал y тәуелд айнымалы немесе функция деп

саналады.

Функцияның анықталу аймағы үшн шект нүктедег функцияның шег

(функцияның шект мән) - қарастырылып отырған функцияның мән оның аргумент берлген нүктеге ұмтылған кезде ұмтылатын шама.

Математикалық талдаудың негзг ұғымдарының бр.

Егер сол және оң жақтағы шектеулер осы нүктедег функцияның мәнне

тең және тең болса, Функция нүктеде үздксз болады.

Кер матрица-Бұл a -1 матрицасы, оны көбейту кезнде бастапқы а матрицасы нәтижеснде Е матрицасын беред: квадрат матрица ол туылмаған кезде ғана қайтымды болады, яғни оның детерминанты нөлге тең болмайды. Квадрат емес матрицалар мен бұзылған матрицалар үшн кер матрицалар

жоқ.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын баған. AX=B=>(A‐1A)X=A‐1B=> EX=A‐1B=>X=A‐1B

Анықтама: Матрица — ұзындығы брдей m жолдан (немесе

брдей ұзындықтағы бағандардан) тұратын ткбұрышты сандар кестес А матрицасы m x n өлшемд матрица деп аталады.

Матрицалардың түрлер: 1) M = N кезнде-квадрат, бұл жағдайда N матрицаның рет деп аталады; 2) барлық диагональды емес элементтер нөлге тең болатын квадрат матрица – диагональды; 3) барлық диагональды элементтер брлкке тең болатын диагональды матрица – брлк және E белгленед; 4) n≠m – тк бұрышты; 5) M=1 кезнде – матрица-жол (вектор-жол);

6) N=1 кезнде – матрица-баған (вектор-баған. Матрицалардың үстнде сандарға ұқсас қосу, азайту және

көбейту деп аталатын белгл бр әрекеттерд орындауға болады. Сондай – ақ, тек матрицалар үшн анықталатын әрекет бар-бұл матрицаларды транспозициялау және берлген матрицаға кер матрицаны табу. Матрицаларды қосу және

азайту.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын баған. AX=B=>(A‐1A)X=A‐1B=> EX=A‐1B=>X=A‐1B

Матрицалардың қарапайым

түрлендрулер:

матрицаның ек параллель қатарының орнын

ауыстыру

матрица қатарының барлық элементтерн нөлден басқа санға көбейту

бр санға көбейтлген параллель қатардың тист элементтернң матрицалық қатарының

барлық элементтерне қосу.

Кер матрица-Бұл a -1 матрицасы, оны көбейту кезнде бастапқы а матрицасы нәтижеснде Е матрицасын беред: квадрат матрица ол туылмаған кезде ғана қайтымды болады, яғни оның детерминанты нөлге тең болмайды. Квадрат емес матрицалар мен бұзылған матрицалар үшн кер матрицалар

жоқ.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын баған. AX=B=>(A‐1A)X=A‐1B=> EX=A‐1B=>X=A‐1B

Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

=

саны айтылады, мұндағы - мен арасындағы бұрыш.

Анықтама. және векторларының векторлық көбейтндс деп (белглену ), келес шарттарды қанағаттандыратын

векторы айтылады:

а), , – мен арасындағы бұрыш; б) ;

в) – векторлардың оң үштг.

Кеңстктег түзуд анықтауға болады: 1) ек жазықтықтың қиылысу сызығы ретнде, яғни теңдеулер жүйес: A 1 x + B 1 y + c 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + c 2 z + D 2 = 0; (3.2) 2) ек оның нүктелер M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2), содан кейн олар арқылы өтетн түзу теңдеулермен берлед:=; (3.3) 3) M 1 нүктес (x 1, y 1, z 1), оған және

Вектор A (m, n, p), оған коллинеарлы. Кеңстктег ек түзу үшн төрт жағдай болуы мүмкн:

түзу сәйкес келед

түзулер параллель (брақ сәйкес келмейд) түзу қиылысады

сызықтар қиылысады, яғни ортақ нүктелер жоқ және параллель емес

Егер белгл бр ереже бойынша X жиынының әрбр x элемент Y жиынының жалғыз y элементне сәйкес келсе, онда x жиынында y = f(x) функциясы x = D(f) анықтау аймағымен және y = E(f) өзгеру аймағымен анықталады деп айтылады. Бұл жағдайда x тәуелсз айнымалы немесе функцияның аргумент, ал y тәуелд айнымалы немесе функция деп

саналады.

Функцияның анықталу аймағы үшн шект нүктедег функцияның шег

(функцияның шект мән) - қарастырылып отырған функцияның мән оның аргумент берлген нүктеге ұмтылған кезде ұмтылатын шама.

Математикалық талдаудың негзг ұғымдарының бр.

Егер сол және оң жақтағы шектеулер осы нүктедег функцияның мәнне

тең және тең болса, Функция нүктеде үздксз болады.

B_1, b_2, b_3 еркн сандарға кез-келген бағанның (жолдың)

алгебралық Қосымшаларының көбейтндснң қосындысы жаңа анықтаушыға тең, онда тист %d осы сандармен ауыстырылады.

СЛАУ дәйект болуы үшн жүйенң негзг матрицасының ранг кеңейтлген матрицаның рангне тең болуы қажет және жетклкт, яғни rang ( A ) = rang ( A ) = = r , ал егер r = n - белгсздер саны, онда жүйенң брегей шешм бар, егер r < n болса, онда жүйеде шешмдер

жиынтығы болады.

Оның дәрежесн табу үшн келес әрекеттерд орындау керек. 1.

Матрицаны сатылы көрнске келтрңз (Гаусс әдсн қараңыз). 2. Алынған матрицада нөлдк емес жолдардың санын есептеңз. Бұл сан матрицаның дәрежесне тең. Бұл әдстң негздемес-2 теореманың

салдары.

Үш белгсз бар үш сызықтық теңдеулер жүйес

берлсн. Егер сызықтық теңдеулер жүйеснң негзг матрицасы квадрат және тозған емес болса , онда жүйен матрицалық жолмен шешуге болады (кер матрицаны пайдалана отырып). Жүйен матрицалық түрде жазып,

теңдеулер жүйеснң Х шешмн аламыз:

А - айнымалылар үшн коэффициенттерден тұратын

матрица. x. у. z.

X – матрица – айнымалылардан тұратын баған. В-матрицасы – бос мүшелерден тұратын баған. AX=B=>(A‐1A)X=A‐1B=> EX=A‐1B=>X=A‐1B

B_1, b_2, b_3 еркн сандарға кез-келген бағанның (жолдың)

алгебралық Қосымшаларының көбейтндснң қосындысы жаңа анықтаушыға тең, онда тист %d осы сандармен ауыстырылады.

СЛАУ дәйект болуы үшн жүйенң негзг матрицасының ранг кеңейтлген матрицаның рангне тең болуы қажет және жетклкт, яғни rang ( A ) = rang ( A ) = = r , ал егер r = n - белгсздер саны, онда жүйенң брегей шешм бар, егер r < n болса, онда жүйеде шешмдер

жиынтығы болады.

Кеңстктег векторлар жазықтықтағы сияқты

анықталады. Бұл басы мен соңы бар бағытталған сегменттер. Тек кеңсткте вектор үш X, y және z координаталарымен берлед. Кеңстктег вектордың ұзындығы-А және В нүктелер арасындағы қашықтық, ол вектордың координаттарының квадраттарының

қосындысының квадрат түбр ретнде орналасқан. Анықтама. және векторларының скалярлық

көбейтндс деп

Кеңстктег түзуд анықтауға болады: 1) ек жазықтықтың қиылысу сызығы ретнде, яғни теңдеулер жүйес: A 1 x + B 1 y + c 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + c 2 z + D 2 = 0; (3.2) 2) ек оның нүктелер M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2), содан кейн олар арқылы өтетн түзу теңдеулермен берлед:=; (3.3) 3) M 1 нүктес (x 1, y 1, z 1), оған және

Вектор A (m, n, p), оған коллинеарлы. Кеңстктег ек түзу үшн төрт жағдай болуы мүмкн:

түзу сәйкес келед

түзулер параллель (брақ сәйкес келмейд) түзу қиылысады

сызықтар қиылысады, яғни ортақ нүктелер жоқ және параллель емес