WorksheetsВведение в ФА
Total questions: 43
Worksheet time: 23mins
Какая из приведенных метрик является метрикой в пространстве Lp[a,b]?
Какое условие должно быть выполнено, чтобы оператор F мог быть линейным (α и β - числа из поля ℝ)?
Укажите верное определение пространства l2
Пространство непрерывных функций и интегрируемых со второй степенью
Пространство дважды интегрируемых последовательностей
Пространство дважды дифференцируемых последовательностей
Пространство суммируемых со второй степенью последовательностей
Выберите аксиомы для норм. Выберите один или несколько ответов:
Симметрия
Неотрицательность
Ассоциативность
Однородность
Аксиома треугольника
Какая из приведённых аксиом не является аксиомой метрики?
Однородности
Симметрии
Треугольника
Неотрицательности
В линейном пространстве...
...количество нулевых элементов разное и зависит от типа пространства
...существует единственный нулевой элемент
...не существует нулевой элемент
...существует больше одного нулевого элемента
Верно
Неверно
Число называется λ называется _____ оператора А, если существует _____ x≠0, x∊D(A), такой что Ax=λx. (Введите ответы через / с маленькой буквы.
Пример: ответ1/ответ2)
(a)
Укажите верное определение базиса пространства.
Минимальное линейно-зависимое семейство элементов
Максимальное семейство элементов, образующих пространство
Минимальное линейно-независимое семейство элементов
Минимальное семейство элементов, образующих пространство
Задано метрическое пространство Х, содержащее бесчисленное множество элементов, в котором существует счетное подмножество элементов, плотное в Х. Тогда каким свойством обладает это пространство
Полнота
Плотность
Компактность
Сепарабельность
Какой оператор называется сжимающим?
Оператор, норма прообраза которого меньше нормы его образа
Оператор, норма образа которого меньше нормы его прообраза
Оператор, уменьшающий расстояние между двумя точками пространства
Оператор, увеличивающий расстояние между двумя точками пространства
Последовательность xn(t) равномерно сходится
Последовательность xn(t) расходится
Последовательность xn(t) больше не фундаментальная
Последовательность xn(t) ограничена
Доказательство какой аксиомы норм операторов здесь представлено?
Аксиома неотрицательности
Аксиома симметрии
Аксиома однородности
Аксиома треугольника
"Норма оператора - отображение из пространства операторов L(X,Y) на положительную числовую полуось ℝ+"
Верно
Неверно
Если А - сжимающий оператор и x = A(x), тогда точка x является...
...собственным вектором оператора А
...неподвижной точкой оператора А
…седловой точкой оператора А
...нормой оператора А
Что из перечисленного не является нормой элемента в пространстве ℝn?
Укажите верные соответствия интегральных уравнений и их названий.
1) Фредгольма
2) Вольтерры
1) Вольтерры
2) Фредгольма
Сколько может быть неподвижных точек сжимающего оператора?
Только одна
Количество неподвижных точек равно размерности оператора
Количество неподвижных точек не превосходит размерность оператора
Сколько угодно
Идея метода итераций состоит в том, чтобы привести уравнение f(x)=0 к виду x = φ(x), где φ - это...
...функция Гамильтона
...функция, обратная к f(x)
...проекционный оператор
...сжимающее отображение
Задано линейное пространство Х. Укажите правильное название аксиомы (λ,μ - простые числа):
λ(μx) = (λμ)x
Нейтральности по умножению
Дистрибутивности по умножению
Коммутативности по умножению
Аннулирования
Укажите, верны ли утверждения.
1) Во всяком комплексном конечномерном линейном пространстве Х можно набрать базис, состоящий из собственных и присоединённых векторов любого линейного оператора А.
2) Если А вполне непрерывен, то его собственное подпространство, отвечающее собственному значению, конечномерно.
1) Верно
2) Неверно
1) Неверно
2) Верно
1) Верно
2) Верно
1) Неверно
2) Неверно
Укажите верное определение данного пространства Ck[a,b]
Пространство функций, заданных на отрезке [a,b]
Пространство непрерывных k раз дифференцируемых функций, заданных на отрезке [a,b]
Пространство непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b]
Пространство k раз интегрируемых функций, заданных на отрезке [a,b]
Пусть ρ(x,y) - функция расстояния. Составьте условие сжатия оператора A при α<1:
ρ(Ax,Ay) = _*(ρ(x,y)^_) + _
Что можно вставить в пропуски:
-1, -1/2, 0, 1/2, 1, a, 1/a, A
Формат ответа: a,b,c
(a)
Метрики ρ(x,y)
Ограниченной последовательности {xn}
Фундаментальной последовательности {xn}
Нормы ∥x∥ = √(x,x)
Оператор А, оставляющий инвариантным конус К(АК ⊂ К), - положительный оператор. Если из x ⋜ y следует, что Ax ⋜ Ay, то как можно охарактеризовать оператор A?
Сжимающий оператор
Собственный оператор
Симметричный оператор
Монотонный оператор
Выберете правильную третью операторную норму.
Задано нормированное пространство X. Выберите правильное свойство из предложенных, которое согласно аксиомам норм будет выполняться в этом пространстве.
Укажите верное общее определение нормы оператора.
Укажите правильную оценку нормы для интегрального оператора.
Задано метрическое пространство M. Если существует несчетное множество S⊂M и такое число α > 0, что для различных элементов x,y ∈ S⊂M при ρ(x,y) ≥ α пространство M обладает каким свойством?
Компактности
Несепарабельности
Ограниченности
Полноты
Какое из приведенных понятий является сущностью определения плотного множества?
Плотное множество не содержит своих границ
Элементы, из которых состоят плотные множества, есть пределы последовательностей этих множеств
Множество плотное, если существует шар конечного радиуса, содержащий это множество
Плотное множество содержит все предельные точки
Укажите, верно ли утверждение. "Линейное нормированное пространство – линейное многообразие, в котором выполнены аксиомы линейного пространства, причём начало координат 0 ∊ Ē, а размерность Ē меньше или равна размерности E".
Верно
Неверно
Какая из приведённых норм является нормой в пространстве Lp?
Непрерывный по Липшицу оператор в банаховом пространстве A: E→E - сжимающий оператор если его норма:
∥A∥ _ 1
Вставьте знак вместо пропуска.
=
>
<
≤
≥
Подставьте верный знак в соотношение алгебраической mi и геометрической si кратности собственного числа λi:
si _ mi
>
<
=
≤
≥
Что из перечисленного не является аксиомой нормы?
Аксиома неотрицательности
Аксиома симметрии
Аксиома треугольника
Аксиома однородности
Выберите верное окончание теоремы.
"Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным его собственным значениям, __________________"
Линейно зависимы
Ортогональны
Линейно независимы
Эквивалентны
Укажите верное определение полного конечномерного пространства.
Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства
Пространство, сжимающие отображения которого в себя не имеют неподвижных точек
Пространство, в котором определена метрика, при замене которой на эквивалентную(порождающую такую же топологию), сохраняется свойство полноты пространства
Пространство интегрируемых по Риману на отрезке функций в интегральной метрике
Каким свойством обладает пространство непрерывных функций по определению?
Компактность
Сепарабельность
Счетность
Плотность
Составьте условие Липшица из предложенных ниже блоков:
_ ≤ _
(В ответ запишите две цифры без пробела)
1) ∥L*x-y∥
2) ∥f(x) - f(y)∥
3) ∥L*f(x) - f(y)∥
4) ∥x - L*y∥
5) L*∥f(x) - f(y)∥
6) ((L - 1)/L)*∥x - y∥
7) L*∥x - y∥
8) ∥x - y∥
9) ∥f(x) - L*f(y)∥
(a)
Если для множества W при любых x∈W и любых α∈[-1;1] выполняется αx∈W, то множество W...
Выпуклое
Вогнутое
Уравновешенное
Поглощающее
