اسطوانه دائرية قائمة ارتفاعها يساوي $$\frac{7}{6}$$ طول قطر قاعدتها دائماً فإذا كان ارتفاعها يزيد بمعدل $$0.01\ \frac{cm}{s}\$$ فجد معدل التغير في حجم الاسطوانة عندما يكون طول نصف قطر قاعدتها يساوي $$6cm$$ ؟

في لحظة ما كان طولا ضلعي مثلث قائم الزاوية $$16cm\ \ ,\ 12cm\$$ على الترتيب فإذا كان الضلع الاول يزداد بمعدل $$2\ \frac{cm}{s}$$ والضلع الثاني يقل يمعدل $$1\ \frac{cm}{s}$$ فأوجد معدل تغير مساحة المثلث بعد ثانيتين من تلك اللحظة

يضخ غاز في بالون كروي بمعدل $$125\ \frac{cm^3}{s}$$ جد معدل الزيادة في مساحة سطح البالون عندما يكون قطر البالون $$10\ cm$$ ؟

مصباح كهربائي مثبت على الأرض، ويبعد عن أقرب نقطة على حائط مواجه له مسافة $$4\ \sqrt[]{3}m$$ .إذا علمت أن بقعة الضوء المسلط على الحائط تتحرك مبتعدة عن أقرب نقطة مواجهة للمصباح بسرعة $$32\ \sqrt[]{3}\pi\ \frac{m}{s}$$ ,فأوجد سرعة دوران المصباح عندما تكون المسافة بين المصباح وبقعة الضوء $$8m$$ ؟

برج مراقبة يرتفع عن الأرض مسافة $$20m$$ رصدت طائرة تطير على ارتفاع ثابت مقداره $$500m$$ تسير بسرعة $$600\ \frac{m}{h}$$ أجد معدل تغير المسافة بين قمة برج المراقبة والطائرة بعد مرور $$\frac{1}{4}h$$ من مرورها فوق البرج مباشرة 

مثلث متطابق الضعلين طولا كل من ضلعيه المتطابقين يساوي $$a$$ في لحظة ما كانت الزاوية بين ضلعيه تساوي $$\frac{\pi}{6}rad$$ ومعدل تغير مساحة المثلث تساوي $$\frac{\sqrt[]{3}}{20}a^2\ \frac{cm^2}{s}$$ فاوجد معدل تغير الزاوية بين الضلعين في تلك اللحظة

من محطة $$Q$$ بدأت سيارتان الحركة على مساريين مستقيمين مختلفين تفصل بينهم زاوية مقدارها $$\frac{2\pi}{3}rad$$ حيث بدأت السيارة الاولى الحركة بسرعة $$50\ \frac{km}{h}$$ والسيارة الثانية بسرعة $$120\ \frac{km}{h}$$ ،في لحظة ما كانت السيارة الاولى على بعد $$200km$$ من المحطة فأجد معدل تغير المسافة بين السيارتين في تلك اللحظة

اسطوانة دائرية قائمة نصف قطر قاعدتها $$20m$$ مملؤة بالماء ،بدأ الماء يتسرب منها بمعدل $$25000\ \frac{L}{\min}$$ أجد معدل تغير المساحة الجانبية فيها

يسقط رمل من حزام ناقل بمعدل $$15\frac{cm^3}{s}$$ مكوناً مخروط رملي قائم أرتفاعه يساوي قطر قاعدته دائماً أجد معدل تغير أرتفاع المخروط بعد مرور $$\frac{3}{20\ }\pi$$ ثانية

تقع النقطة $$B$$ على مسافة $$3m$$ من دائرة مركزها $$C$$ ونصف قطرها $$4m$$ ، بدأت النقطة $$A$$ الواقعة مقابل النقطة $$B$$ وعلى محيط الدائرة بالحركة مقتربة من $$B$$ و بسرعة $$\frac{1}{3}\ \frac{m}{s}$$ ، أجد معدل تغير مساحة المثلث $$ABC$$ عندما تصبح المسافة بين النقطتين $$2m$$ أول مرة

سلم طوله $$10m$$ مرتكز بطرفه العلوي على حائط عمودي وطرفه السفلي على أرض مستوية ، بدأ الطرف العلوي للسلم بالانزلاق بسرعة $$\frac{1}{4}\ \frac{m}{s}$$ ، أجد معدل تغير الزاوية المحصورة بين السلم والحائط عندما يكون الطرف العلوي على ارتفاع $$6m$$ من الارض

تتحرك نقطة $$C$$ على منحنى الاقتران $$y=x^2e^{-x}$$ وفي الربع الاول بحيث يزداد إحداثها السيني بمعدل $$2\ \frac{cm}{s}$$ ، فأجد معدل تغير مساحة المثلث المكون من نقطة الاصل والنقطة $$\left(5,0\right)$$ والنقطة $$C$$ عند مرورها بالنقطة $$\left(1,\frac{1}{e}\right)$$ تماماً

من نقطة على ارتفاع 50 متر بدأ بالون بالارتفاع للأعلى بسرعة $$5\ \frac{m}{s}$$ وفي نفس الحظة بدأت دراجة أسفل البالون مباشرة بالسير بخط مستقيم بسرعة $$10\ \frac{m}{s}$$ أجد معدل تغير المسافة بين البالون والدراجة بعد مرور ثانيتين من تلك اللحظة

دائرة بداخلها مثلث متطابق الاضلاع تلامس رؤوسه الدائرة ، بدأت الدائرة بالإتساع بحيث يزداد نصف قطرها بمعدل $$2\ \frac{m}{s}$$ ،بحيث تظل رؤوس المثلث ملامسه لدائرة،أجد معدل تغير مساحة المنطقة المحصورة بين الدائرة والمثلث عندما يكون نصف قطر الدائرة $$4m$$ ؟

قطاع دائري نصف قطره $$5cm$$ ،إذا علمت إنّ زاويته المركزية تزداد فيزداد معها محيطه بمعدل $$\frac{5}{4}\ \ \frac{cm}{s}$$ ،فأوجد معدل تغير مساحة القطاع في أي لحظة ؟

$$f\left(x\right)=x^2e^x\ \ ,\ x\in\left[-5\ ,-1\ \right]$$ القيمة العظمى المطلقة للاقتران

فترات التزايد للاقتران $$f\left(x\right)=\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}\ ,\ \left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$$ هي

القيمة الصغرى المحلية للاقتران $$f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x-1}$$ هي

معتمدا الرسم المجاور يمثل رسم المشتقة الأولى للإقتران $$f\left(x\right)$$ أوجد قيمة $$x$$ التي يكون للاقتران عندها قيمة صغرى محلية

إذا علمت أنّ موقع جسيم بعد $$t$$ ثانية يعطى بالعلاقة $$s\left(t\right)=\ln t^4-\frac{1}{2}t^2\ ,\ t>0$$ فإن الفترة الزمنية التي يتحرك بها الجسم بالإتجاه السالب

إذا كان للاقتران $$f\left(x\right)=x^a-bx+c\ ,\ a>2$$ قيم قصوى محلية عند $$\left(1,0\right)$$ ونقطة انعطاف عند $$\left(0,2\right)$$ فإن قاعدة الاقتران

خزان مائي على شكل أسطوانه قائمة مفتوح من ألاعلى سعته $$8000\pi\ liter$$ أجد نصف قطرها لتكون تكلفة المعدن المستخدم في صناعته أقل ما يمكن

الشكل المجاور يمثل مستطيل أحد رؤوسه يقع على منحنى $$y=4-x^2$$ والاخر على $$\ y=\frac{1}{2}x\ \ المستقيم$$ والرأسيين الآخريين على محور $$y$$ فإنّ أّكبر مساحه للمستطيل بالوحدات المربعة