Αν $$f\left(x\right)=\ln x$$ και $$g\left(x\right)=e^{-x}$$ τότε $$\left(fοg\right)\left(x\right)=-x\ ,\ x\in R$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{f\left(x\right)}{x-1}=λ\in R$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow1}\ f\left(x\right)=0$$ .

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow0}\left[x\left(\frac{1}{x^2+x}\right)\ \right]=\lim_{x\rightarrow0}\left(x\right)\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^2+x}\right)\ =0\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^2+x}\right)=0.$$

Αν $$f\left(x\right)>1$$ , για κάθε $$x\in R$$ και υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right),$$ τότε κατ' ανάγκη $$\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)>1$$ .

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\cdotημ\frac{1}{x}\right)=1$$

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{ημx}{x}\right)=1$$ .

Αν $$0\le f\left(x\right)\le1$$ κοντά στο 0, τότε $$\lim_{x\rightarrow0}\left(x^2\cdot f\left(x\right)\right)=0$$ .

Αν $$f\left(x\right)\le\frac{1}{x^2},\ x\in\left(α,+\infty\right),$$ τότε κατ΄ ανάγκη θα είναι $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0$$ .

Αν υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow6}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)$$ τότε είναι ίσο με $$f\left(6\right)\cdot g\left(6\right)$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}\left|f\left(x\right)\right|=1$$ τότε κατ' ανάγκη θα είναι $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=1$$ ή $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=-1$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}\left|f\left(x\right)\right|=0$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=0$$ .

Αν η f συνεχής στο $$R$$ και για $$x\ne4$$ ισχύει $$f\left(x\right)=\frac{x^2-7x+12}{x-4}$$ , τότε το $$f\left(4\right)=1$$ .

Αν η f συνεχής στο $$\left[-1,1\right]$$ και $$f\left(-1\right)=4$$ , $$f\left(1\right)=3$$ , τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός $$x_0\in\left(-1,1\right)$$ τέτοιος ώστε $$f\left(x_0\right)=\pi$$ .