Determine the domain of the function f in each of the following cases: f(x)=1x-1x-1; f(x)=3x2-x+5; f(x)=2x-32x2-x-1; f(x)=2-xx2+x+1; f(x)=14x2-9x2-1; f(x)=1x3-x

Determine the domain of the function f in each of the following cases: f(x)=32|x|-3; 2) f(x)=x-11-2|x| f(x)=2-x3|x|+5; f(x)=2x4x2-7|x|+3 f(x)=-5x-7x2+|x|; f(x)=1x2-|x+2|

Determine the domain of the function f in each of the following cases: f(x)=5+x-2-x; 2) f(x)=2|x|-1 f(x)=1+|x| f(x)=2x2+x-1 f(x)=1-x1+x f(x)=1-x1+x f(x)=6x-47-2x f(x)=x2-4x2-2.

Determine the domain of the function f in each of the following cases: f(x)=2cos⁡x-sin⁡x; 2) f(x)=3x+tan⁡x f(x)=sin⁡x2cos⁡x-1; f(x)=cos⁡x3-tan⁡x f(x)=32sin⁡x+3; f(x)=2cos⁡x-3 f(x)=3sin⁡x1-2cos2⁡x; f(x)=1cos⁡x-3sin⁡(3x)

Let the function: f:x↦|x|-1x2-1-x2-|x|x2-2|x|+1 Determine the domain of definition of f. Simplify the expression of f(x) for all x∈Df.

Determine the domain of the function f : f(x)=2x+1x2+5x+4; x≤-2 f(x)=xx+1; x>-2

Study the parity of the function f in each of the following cases: f(x)=|x-2|-|x+2|; f(x)=xx2-1; f(x)=x2-1x2-9; f(x)=x2-2|x|+3; f(x)=x|x|+1; f(x)=x3+4x; f(x)=x2+7x-4; f(x)=x-9x

Study the parity of the function f in each of the following cases: f(x)=cos2⁡x-sin⁡x; f(x)=sin⁡(3x) f(x)=x-tan3⁡x f(x)=cos⁡x1+x2 f(x)=2cos⁡x+1|sin⁡x| f(x)=sin2⁡x2-cos⁡x f(x)=|sin⁡x-x|; 8) f(x)=x3tan⁡(3x)

Let f be the function defined on the interval [-6;6] and whose graphical representation is as follows: Determine the expression f(x) in terms of x for all x∈[-6;6]. Calculate f(3) and f(227). Determine the sign of f(x) on [-6;6]. 4) Draw the variation table of the function f.

Let f be the numerical function defined on R and whose graphical representation is as follows: Solve graphically the equation: f(x)=x. Solve graphically the following inequalities: a) f(x)≥x b) f(x)

Let f be the numerical function defined on R by: f(x)=|x+1|-2|x|+|x-1|-1 C, its representative curve in an orthonormal frame. Show that the function f is even. Study the variations of the function f. Draw the curve Cf. Solve graphically the following inequality: |x+1|+|x-1|>2|x|+2x+45

Study the sign of the function f in each of the following cases: f(x)=x²-5x+6; 2 2) f(x)=-15x²+x+2 f(x)=2x-34x+7; f(x)=sin⁡x-11-cos⁡x f(x)=|x-1|2x²+x-1; f(x)=x²x-1 f(x)=x-1x²+x; f(x)=1-x²sin⁡x-3 f(x)=sin⁡x(2cos⁡x-1); 10) f(x)=tan⁡x1-sin⁡x

Let f and g be the functions defined by: f(x)=2x+1x+1 and g(x)=x-12x-1 Determine l

Determine the domains of definition of f and g.

Compare the functions f and g.

Compare the following numbers: a=0.99990, 0.9998 and b=1.00021, 0.0001

Compare the functions f and g in each of the following cases: f(x)=2x2+3 and g(x)=2x+3.

Compare the functions f and g in each of the following cases: f(x)=xx+1 and g(x)=x2.

Compare the functions f and g in each of the following cases: f(x)=x2-3x+5 and g(x)=-x2+2x+2.

Compare the functions f and g in each of the following cases: f(x)=3x2-x+3x-1 and g(x)=3x-2.

Compare the functions f and g in each of the following cases: f(x)=x2 and g(x)=-1+1+x2x.

Compare the functions f and g on [-4;4].

Deduce the solutions in [-4;4] of the inequality: f(x)>g(x).

Determine the sign of each of the functions f and g.

Draw the variation table for each of the functions f and g.

Study the relative position of the curve Cf with respect to the x-axis.

Show that the function f is bounded below by -3.

Determine Dg the domain of definition of g.

Show that: ∀x∈Dg0

Show that the function f is bounded by 12 and -12.

Show that the function g is bounded by 0 and 1.

Show that the function f is bounded by 2.

Show by absurdity that f is not bounded below.

Determine the domain of definition of f.

Show that: ∀x∈R-0

Determine the domain of definition of f.

Study the sign of the function f.

Show that the function f is bounded by 24.

Show that f and g are bounded on R.

Show that for all x∈R : |f(x)|≤2x4x4+1+x2x4+1.

Deduce that f is bounded on R.

Verify that: (∀x∈R)(4x+3)2≤25x2+1.

Deduce that: (∀x∈R)|f(x)|≤5.

Show that 9 is the absolute maximum value of f.

Show that 2 is the absolute minimum value of g.

Show that this is the absolute minimum value of f.

Show that 73 is the absolute maximum value of f.

Show that f has an absolute maximum on R.

What is the absolute minimum value of f.

Montrer que 73 est la valeur maximale absolue de f.

Montrer que f admet un maximum absolu sur R.

Montrer que f(1) est la valeur maximale de la fonction f sur l'intervalle R+.

Vérifier que la fonction f est impaire.

En déduire la valeur minimale de la fonction f sur l'intervalle R-.

Montrer que : ∀x∈R+*f(x)≥2.

La fonction f est-elle bornée surR* ? Justifier.

La fonction f admet-elle un minimum sur R+? un maximum sur R* ?

Vérifier que la fonction f est impaire.

Montrer que pour tous réels x et y tels que x≠y : f(x)-f(y)x-y=x2+xy+y2-6.

Étudier les variations de la fonction f sur chacun des intervalles [0;2] et [2;+∞[.

Dresser le tableau de variations de f sur R.

En déduire les extrema de la fonction f.

Montrer que la fonction f admet un minimum absolu au point x0=1.

Étudier la monotonie de la fonction f sur chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[.

Donner le tableau de variations de la fonction f.

Montrer que pour tous réels positifs a et b : f(a)-f(b)a-b=2-ab(a+b)a3+2b3+2.

Étudier les variations de la fonction f sur chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[.

En déduire que : (∀x∈[2;3])329≤f(x)≤15.

Étudier la parité de la fonction f.

Étudier la monotonie de la fonction f sur R+.

En déduire la monotonie de f sur R-.

Déterminer Df l'ensemble de définition de f.

Étudier la parité de la fonction f.

Calculer (f(a))2-(f(b))2.

En déduire la monotonie de f sur chacun des intervalles [0;3[ et ]-3;0].

Déterminer Df l'ensemble de définition de f.

Étudier la parité de la fonction f.

Étudier la monotonie de la fonction f sur R+.

En déduire la monotonie de f sur R-puis dresser le tableau de variations de f.

Étudier la parité de la fonction f.

Donner une expression simplifiée de f(x) puis étudier les variations de la fonction f.

Tracer CCf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O;i;j).

Étudier.

Tracer CCf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O;i;j).

Étudier la parité de la fonction f.

Donner une expression simplifiée de f(x)puis  étudier les variations de la fonction f.

Déterminer les extrema de la fonction f.

Déterminer le signe de f sur l'intervalle [-5;6]

Déterminer Df l'ensemble de définition de f.

Montrer que : f(a)-f(b)a-b=-23-2a+3-2b.

En déduire la monotonie de f sur Df.

Étudier les variations de la fonction g définie par  : g(x)=3-2|x|

Montrer que : (∀x∈R)f(x)>-12

Montrer que la fonction f est strictement croissante sur R.

Dresser le tableau de variations de la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans chacun des cas suivants : f(x)=5-x2 ; f(x)=x2-2x+3 f(x)=-x2+x+2 f(x)=2(x-3)2 f(x)=x2+2x f(x)=-2x2+3x-5

Dresser le tableau de variations def.

Déterminer les points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

Tracer la courbe Cf.

Déterminer graphiquement f([0;4]).

Tracer la courbe Cg dans le repère (O;i;j).

Dresser le tableau de variations de g.

Déterminer selon les valeurs du paramètre m, le nombre de solutions de l'équation: x2-3x+2=m

Étudier la parité de la fonction f.

Étudier la monotonie de f puis dresser son tableau de variations sur R.

Tracer Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i;j).

En déduire les extrema de la fonction f.

Dresser le tableau de variations de la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans chacun des cas suivants : f(x)=4-2x ; f(x)=x+12x-3 f(x)=2x-1x+1; f(x)=3+1x+1 f(x)=xx-1 f(x)=1-2x2-x

Dresser le tableau de variations de f.

Déterminer les points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

Tracer la courbe Cf.

Déterminer graphiquement f(]2;3]).

Étudier la parité de la fonction g.

Vérifier que pour tout x∈R+-{2}:g(x)=fx', puis dresser le tableau de variations de g.

Tracer la courbe Cg dans le repère (O;i;j).

Déterminer selon les valeurs du paramètre m, le nombre de solutions de l'équation: (2-m)|x|-3+2m=0

Dresser le tableau de variations de la fonction f et g définies par : f(x)=2xx+1

Déterminer selon les valeurs du paramètre m, le nombre de solutions de l'équation: (2-m)|x|-3+2m=0

Résoudre dans R l'équation : f(x)=g(x).

Pour chacun des cas suivants, calculer fog et gof après avoir déterminé leurs ensembles de définition.

Pour chacun des cas suivants, écrire la fonction f sous forme de composée de deux fonctions usuelles : f(x)=(2x-3)2

Étudier les variations de la fonction g.

Donner le tableau de variations de f.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction h=g∘f.

Étudier les variations des fonctions f et g.

Montrer que pour tout x∈Df:f(x)=2+(g(x))2 où g est une fonction à déterminer.

Observer bien le graphe en-dessous et donner une méthode de construction du point M(x;g∘f(x)) en utilisant les graphes ef et Cg et la droite (Δ) d'équation cartésienne y=x.

En utilisant cette technique, tracer la courbe de la fonction h:x↦(x+1)3.

Étudier les variations des fonctions f et g.

Montrer que la fonction f est majorée par 1.

Déterminer l'image de l'intervalle [-1;0] par f.

Déterminer Dk l'ensemble de définition de h.

Vérifier que: ∀x∈Dhh(x)=g∘f(x)

Étudier les variations de la fonction h sur chacun des intervalles suivants: ]-∞;0[ ;]0;2] ; [2;4[;]4;+∞[

Déterminer Df l'ensemble de définition de f.

Montrer que : ∀x∈Dff(x)=1+x+1.

Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormé.

Montrer que : f([-1;0[)=[1;2[.

Déterminer Dfog puis calculer f og g(x) pour tout x∈Dfog.

Déterminer la valeur du réel x pour laquelle: ∀x∈Dfogfog(x)=1+|x|.

Montrer que T est une période de la fonction f dans chacun des cas suivants : a) f(x)=cos⁡(3x) et T=2π3.

Déterminer une période de la fonction f dans chacun des cas suivants : f(x)=cos⁡(3x)+sin⁡x ; f(x)=3cos⁡x+1.

Représenter graphiquement la restriction de la fonction f sur l'intervalle [-5;5].

Calculer: f(245,75) et f(2018,12).

Calculer f(x) en fonction de x pour tout x∈[2018;2019[.

Montrer que pour tout x∈[-2;2] : f(x)=|x+1|+|x-1|.

Donner l'expression de f(x) en fonction de x et k pour tout x∈Ik puis construire la représentation graphique de la restriction de f sur [-6;10].

Représenter graphiquement la restriction de f sur l'intervalle [-5;7].

Montrer que f est périodique.

Résoudre dans R les équations et les inéquations suivantes: E(x)=0 ; E(x)=2 ; E(x)=-3 ; 3E(x)-1=0; 5) E(x)<2; 6) E(x)≥-1 ; -1≤E(x)<3 ; 2E(x)+3<0.

Résoudre dans R les équations et les inéquations suivantes: E(x)=0 ; E(x)=2 ; E(x)=-3 ; 3E(x)-1=0; 5) E(x)<2; 6) E(x)≥-1 ; -1≤E(x)<3 ; 2E(x)+3<0

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=2x-E(x). Calculer f20192 et f-53. Résoudre dans R ce qui suit : f(x)=x ; f(x)≤2x+1

On considère la fonction f définie surR par : f(x)=(x-E(x))(E(x)-x+2). Calculer f20192 et f-53. Résoudre dans R ce qui suit : f(x)=x ; f(x)≤2x+1

On considère la fonction numérique f définie surR par: f(x)=(x-E(x))(E(x)-x+2). Montrer que f est périodique de périodel. Représenter la restriction de la fonction f sur chacun des intervalles [0;1[ et [-4;4]. Résoudre dans [-4;4] les équations suivantes: a) f(x)=0 ; b) f(x)=1 ; c) f(x)=8 ; d) 2f(x)=3

Soit d la fonction définie sur R par: d(x)=x-E(x). Calculer les images des réels suivants pard : -5;2;8;32;5,2. Déterminer trois réels positifs et trois réels négatifs vérifiant l'égalité: d(x)=0,3. Vérifier que : (∀x∈R) 0≤d(x)<1. Montrer que la fonction d est périodique puis représenter sa restriction sur l'intervalle [-6;6].

Soit f une fonction numérique définie sur R* par : ∀x∈R*f(x)+3f1x=E(x). Calculer: f12 et f(-2) et f(2020)

Soit f et g deux fonctions numériques définies sur un intervalle I de R. On pose : S=f+g et P=f×g. a) Montrer que si f et g sont croissantes sur I, alors S est croissante sur I. b) Déterminer la monotonie de S lorsque f et g sont décroissantes sur I. c) On suppose dans cette question que f et g sont monotones et de monotonies contraires sur I. La fonction S est-elle monotone sur I ? d) Applications : Déterminer la monotonie des fonctions suivantes sur l'intervalle I : U:x↦x3+2x2+5x-3 et I=R+. V:x↦x2+1x et I=R-*. W:x↦x+1+x3 et I=[-1;+∞[.

On suppose dans cette question que les fonctions f et g sont positives sur l'intervalle I. a) Montrer que si les fonctions f et g ont la même monotonie sur I, alors la fonction P est monotone et déterminer sa monotonie. b) On suppose dans cette question que f et g sont monotones et de monotonies contraires sur I. La fonction P est-elle monotone sur I ? c) Applications : Déterminer la monotonie des fonctions suivantes sur l'intervalle I : P1:x↦xx+3 et I=[1;+∞[. P2:x↦cos⁡xx et I=0;π2. P3:x↦x2-4xx-1 et I=[2;+∞[.

Soit f la fonction numérique définie sur [0;1] par f(x)=x3-3x+1. Montrer que f est décroissante sur[0;1]. En déduire que la fonction f est majorée parlet minorée par -1.

Soit f et g les fonctions numériques définies par: f(x)=13x2-43x+2  et  g(x)=x. Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormé (O;i;j). Étudier les variations des fonctions f et g. a) Déterminer les points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère. b) Vérifier que les points A(1;1) et B(4;2) appartiennent à chacune des courbes Cf et Cg. c) Tracer les courbes Cf et Cg. Résoudre graphiquement l'inéquation : x(x-4)+3(2-x)≥0.

Soit f et g les fonctions numériques définies par: f(x)=227x3  et  g(x)=x+1. Cf et Cg les courbes représentatives def et g dan 5 un repère orthonormé (O;i;j). Étudier les variations des fonctions f e

Étudier les variations des fonctions f et g.

Vérifier que le point A(3;2) appartient à cha alune e  des courbes Cf et Cg.

Tracer les courbes Cf et Cg.

Résoudre graphiquement l'inéquation: 2x3-27x+1≥0

Dresser les tableaux des variations de f et g.

Calculer f(1) et g(1).

Tracer les courbes Cf et Cg.

Résoudre graphiquement l'inéquation : g(x)-f(x)≥0

Calculer f(0) et g(0).

Étudier les variations des fonctions f et g.

Tracer les courbes Cf et Cg.

Résoudre graphiquement l'inéquation : f(x)g(x)≥0

Vérifier que: h=f∘g

Étudier les variations de la fonction h.

Déterminer Df ensemble de définition de f.

Montrer que f est bornée sur Df.

Montrer que f est minorée par le nombre 1.

Le nombre 1 est-il le minimum absolu de f ?

Montrer que f est majorée par le nombre 2.

Le nombre 2 est-il le maximum absolu de f ?

Montrer que : f(a)-f(b)a-b=a+ba2+1b2+1.

En déduire les variations de la fonction f sur chacun des intervalles [0;+∞[et]-∞;0].

Étudier les variations de la fonction g.

Déterminer Dh ensemble de définition de h.

Étudier les variations de h sur Dh.

En déduire la valeur minimale absolue de h.

Déterminer Df ensemble de définition de f.

Étudier les variations des fonctions f et g sur l'intervalle [2;7].

Vérifier que le point A(3;1) appartient à Cf et Cg.

En déduire l'ensemble solution de l'inéquation: f(x)

Montrer que : f(x)-f(y)=2(x-y)(x+1)(y+1).

En déduire que f est croissante sur R+.

Montrer que la fonction f est bornée parlet-1.

En utilisant les variations de la composée de deux fonctions, étudier les variations de la fonction h.

Vérifier que les courbes Cf et Cg se coupent au point A(1;2).

Tracer les courbes Cf et Cg.

Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation: x3+x-2≥0.

Vérifier que les courbes Cf et Cg se coupent au point A(1;2).

Tracer les courbes Cf et Cg.

Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation: x3+x-2≥0

Montrer que : (∀x∈]-∞;-233+2x≥0.

Soit h la fonction numérique définie par: h(x)=3+2x. En utilisant les variations de la composée de deux fonctions, étudier les variations de la fonction h.

Montrer que h est majorée par le nombre 3.

Vérifier que les courbes Cf et Cg se coupent au point A(2;1).

Tracer les courbes Cf et Cg.

Résoudre graphiquement l'inéquation: x2-2x-1+x-1<0

Déterminer graphiquement les images des intervalles [0;1] et [1;2] par la fonction f.

Déterminer Dh ensemble de définition de h.

Vérifier que : ∀x∈Dhh(x)=gof(x)

Étudier les variations de la fonction h sur les intervalles [0;1] et [1;2].

Déterminer Df ensemble de définition de f.

Vérifier que la fonction f est impaire.

Montrer que f est décroissante sur ]0;+∞[ puis dresser son tableau de variation sur Df.

Montrer que : ∀x∈R+*0

Montrer que : ∀x∈R+*g(x)=f of (x)

Étudier les variations de g sur R+*.

Montrer que f est bornée par -4 et 1.

Montrer que : f(x)-f(y)x-y=(2x+1)(2-y)+(2y+1)(2-x)x2+1y2+1

En déduire que f est décroissante sur[2;+∞[.

Déterminer Dh ensemble de définition de h.

En utilisant les variations de la composée de deux fonctions, étudier les variations de la fonction h.

Déterminer Dg∘f l'ensemble de définition de la fonction g of .

Calculer g of f(x) pour tout x∈Dgof.

Montrer que pour tout x∈R:x2+x-1x2+x+1<1

Étudier les variations de la fonction g o f sur chacun des intervalles -12;+∞[ et ]-∞;-12.

Montrer que g of est bornée surR.

Montrer que la fonction f est minorée par 0.

Le nombre 0 est-il le minimum absolu de f ?

Étudier la parité de la fonction f.

Montrer que : (∀x∈R)|f(x)|≤1

Montrer que : f(x)-f(y)x-y=2(1-xy)1+x21+y2

Montrer que : (∀x∈R)|f(x)|≤1

Montrer que : f(x)-f(y)x-y=2(1-xy)1+x21+y2

En déduire les variations de la fonction f sur chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Montrer que : (a+b)2+1a+b≥322.

Tracer Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé.

Déterminer graphiquement : g([-1;0]) et g([0;+∞[)

Vérifier que: (∀x∈R)h(x)=gof(x)

En déduire les variations de h sur R.

La fonction f est-elle paire? Impaire ?

Montrer que 3 est la valeur minimale de la fonction f sur l'intervalle ]0;+∞[.

Étudier les variations de la fonction f sur chacun des intervalles: ]-∞;0[;]0;12;12;+∞[.

Tracer Cz la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé.

Déterminer graphiquement : g(]0;1]) et g([1;+∞[) et g(]-∞;0[)

Déterminer Dk ensemble de définition de h.

Calcule h(x) pour tout x∈Dh.

Étudier la monotonie de la fonction h.

En déduire que : ∀x∈R*;h(x)≥3.

Déterminer la valeur minimale de la fonction f.

Montrer que pour tous x et y de l'intervalle [a;b] f(b)f(a)

Étudier les variations de f.

Montrer que pour tout tous x et y de [0;2] : 13y3+1≤x3+1<3y3+1

Montrer que pour tout (x;y)∈R2 : x2+x(1+y)+y2+y+1>0

Montrer que f est strictement croissante sur R.

Montrer que l'équation f(x)=3 admet auplles une solution dans R.

Étudier les variations de la fonction g sur l.

En déduire que l'équation f(x)=g(x) admet une solution unique dans l'intervalle I.

Vérifier que : ∀x∈R+*h(x)=f1x

En déduire la monotonie de la fonction h sur R.

Montrer que la fonction f est paire et que le point A(2;0) appartient à la courbe φf.

Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser son tableau de variations sur R.

Montrer que f est minorée par -2 sur R.

Le nombre -2 est-il le minimum absolu de f ?

Montrer que f est majorée.