Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow0}\left(xημ\frac{1}{x}\right)=0$$ .

Κάθε συνάρτηση $$f$$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Η συνάρτηση $$f\left(x\right)=x^{\alpha}$$ , $$\alpha\inℝ−ℤ$$ είναι παραγωγίσιμη στο $$\left(0,+\infty\right)$$ και ισχύει ότι $$f'\left(x\right)=\alpha x^{\alpha-1}$$ .

Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

Για κάθε συνάρτηση $$f$$ , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ, ισχύει ότι $$f'\left(x\right)>0$$ σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Αν η $$f$$ είναι μία «ένα προς ένα» (" $$1-1$$ ") συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις $$C$$  και $$C'$$  των συναρτήσεων $$f$$  και $$f^{-1}$$  είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $$y=x$$  που διχοτομεί τις γωνίες $$xOy$$  και $$x'Oy'$$ .

Αν $$f,\ g$$  είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι $$f\circ g$$  και $$g\circ f$$ , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

Εάν η συνάρτηση $$f$$  είναι συνεχής στο $$x_0$$  και η συνάρτηση $$g$$  είναι συνεχής στο $$f\left(x_0\right)$$ , τότε η σύνθεσή τους $$g\circ f$$  είναι συνεχής στο $$x_0$$ .

Αν η $$f$$  είναι συνεχής συνάρτηση στο $$\left[\alpha,\ \beta\right]$$ , με $$\int_{\alpha}^{\beta}f\left(x\right)dx=0$$ , τότε κατ՚ ανάγκη θα είναι $$f\left(x\right)=0$$ , για κάθε $$x\in\left[\alpha,\ \beta\right]$$ .

Αν $$0<\alpha<1$$  τότε $$\lim_{x\rightarrow+\infty}^{ }\alpha^x=0$$ .

Αν η συνάρτηση $$f$$  είναι συνεχής στο $$\left[0,1\right]$$ , παραγωγίσιμη στο $$\left(0,1\right)$$  και $$f'\left(x\right)\ne0$$ , για όλα τα $$x\in\left(0,1\right)$$ , τότε $$f\left(0\right)\ne f\left(1\right)$$ .

Η συνάρτηση $$f\left(x\right)=σφx$$  είναι παραγωγίσιμη στο $$ℝ_2=ℝ-\left\{x∣ημx=0\right\}$$  και ισχύει $$f'\left(x\right)=-\frac{1}{ημ^2x}$$ .

Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-συνx}{x}=1$$ .

Ισχύει ότι $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{ημx}{x}=0$$ .

Ισχύει $$\left|ημx\right|<\left|x\right|$$ , για κάθε $$x\inℝ^∗$$ .

Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση $$f$$  με πεδίο ορισμού $$A$$ ισχύει ότι $$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$$ για κάθε $$x\in A$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)>0$$ , τότε $$f\left(x\right)>0$$  κοντά στο $$x_0$$ .

Έστω μια συνάρτηση $$f$$  συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν $$f''\left(x\right)>0$$  για κάθε εσωτερικό σημείο $$x$$  του Δ, τότε η $$f$$  είναι κυρτή στο Δ.

Αν η $$f$$  είναι συνεχής συνάρτηση στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$ , τότε η $$f$$  παίρνει στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$  μια μέγιστη τιμή, $$M$$ , και μια ελάχιστη τιμή, $$m$$ .

Αν $$f,\ g$$  είναι δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις με πεδία ορισμού $$A$$ και $$B$$ αντίστοιχα, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $$\frac{f}{g}$$  είναι το $$A\cap B$$ .

Έστω μια συνάρτηση  ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και $$x_0$$  ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η $$f$$  παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $$x_0$$  και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε $$f'\left(x_0\right)=0$$ .

Αν μια συνάρτηση $$f$$ , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $$\left(\alpha,\beta\right)$$ , παρουσιάζει στο σημείο $$x_0\in\left(\alpha,\beta\right)$$  καμπή, τότε $$f''\left(x_0\right)=0$$ .

Για οποιαδήποτε συνάρτηση $$f:ℝ\rightarrowℝ$$ , με $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)>0$$ , ισχύει ότι $$f\left(x\right)>0$$ , για κάθε $$x\inℝ$$ .

Κάθε συνάρτηση $$f$$  που είναι συνεχής σε σημείο $$x_0$$  του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο $$x_0$$ .

$$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^{2ν+1}}\right)=+\infty$$ , για κάθε $$ν\inℕ$$ .

Αν $$f,\ g$$  είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού $$A$$ και $$B$$ , αντίστοιχα, τότε η $$g\circ f$$  ορίζεται, αν $$f\left(A\right)\cap B\ne\emptyset$$ .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $$f\left(x\right)=\sqrt[]{\left|x\right|}$$ , $$x\inℝ$$ , έχει άξονα συμμετρίας τον $$y'y$$ .

Η εικόνα $$f\left(\Delta\right)$$  ενός διαστήματος $$\Delta$$ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι πάντα διάστημα.

Δίνεται ότι η συνάρτηση $$f$$  παραγωγίζεται στο $$ℝ$$  και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα $$x'x$$ . Αν υπάρχει κάποιο σημείο $$A\left(x_0,\ f\left(x_0\right)\right)$$  της $$C_f$$ , του οποίου η απόσταση από τον άξονα $$x'x$$  είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της $$C_f$$  είναι οριζόντια.

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=+\infty$$ , τότε  για κάθε  κοντά στο $$x_0$$ .

Αν μια συνάρτηση $$f$$  είναι συνεχής στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$ , παραγωγίσιμη στο $$\left(\alpha,\beta\right)$$  και $$f'\left(x\right)\ne0$$  για κάθε $$x\in\left(\alpha,\beta\right)$$ , τότε $$f\left(\alpha\right)\ne f\left(\beta\right)$$ .

Για κάθε συνάρτηση $$f$$  που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο $$ℝ$$ , ισχύει $$f'\left(x\right)>0$$  για κάθε $$x\inℝ$$ .

Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Ισχύει: $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=-\infty$$ .

Για κάθε συνάρτηση $$f$$ , το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της $$f$$ , εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της $$f$$ .

$$\left(\ln\left|x\right|\right)'=-\frac{1}{x}$$ , για κάθε $$x<0$$ .

Αν μια συνάρτηση $$f$$  είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε η $$f$$  διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $$f,\ g$$  για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις $$f\circ g$$  και $$g\circ f$$  ισχύει $$f\circ g=g\circ f$$ .

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $$f,\ g$$  για τις οποίες υπάρχουν τα όρια $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)$$ , $$\lim_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)$$  και $$f\left(x\right)<g\left(x\right)$$  για κάθε $$x$$  κοντά στο $$x_0$$ , ισχύει $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)<\lim_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)$$ .

Αν η $$f$$  είναι μια συνεχής συνάρτηση στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$ , η οποία δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό και $$\int_{\alpha}^{\beta}f\left(x\right)dx=0$$ , τότε η $$f$$  παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$ .

Για κάθε συνάρτηση $$f$$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $$A=\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)$$  με $$f'\left(x\right)=0$$  για κάθε $$x\in A$$ , ισχύει ότι η $$f$$  είναι σταθερή στο $$A$$ .

Για κάθε συνάρτηση $$f$$ , όταν υπάρχει το όριο της $$f$$  καθώς το $$x$$  τείνει στο $$x_0\in A$$  τότε αυτό το όριο ισούται με την τιμή της $$f$$  στο $$x_0$$ .

Η γραφική παράσταση της $$\left|f\right|$$  αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της $$f$$  που βρίσκονται πάνω από τον άξονα $$x'x$$  και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα $$x'x$$ , των τμημάτων της γραφικής παράστασης της $$f$$  που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα.

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $$f$$  στο διάστημα $$\left[\alpha,\beta\right]$$  ισχύει: Αν $$\int_{\alpha}^{\beta}f\left(x\right)dx=0$$ , τότε $$f\left(x\right)=0$$  για κάθε $$x\in\left[\alpha,\beta\right]$$ .

Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης $$f$$  μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της $$f$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)>0$$ , τότε $$f\left(x\right)>0$$  για $$x$$  κοντά στο $$x_0$$ .

Μια πολυωνυμική συνάρτηση $$f:ℝ\rightarrowℝ$$  διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $$f$$  χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Η συνάρτηση $$f\left(x\right)=ημx$$  με $$x\inℝ$$  έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.

Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση $$f$$  σε ένα διάστημα $$\Delta$$ , η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει $$f'\left(x\right)>0$$  για κάθε $$x\in\Delta$$ .

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-συνx}{x}=0$$ .

Αν η $$f$$  είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις $$C$$  και $$C'$$  των συναρτήσεων $$f$$  και $$f^{-1}$$  αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $$y=x$$ .

Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $$f$$ .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $$f:ℝ\rightarrowℝ$$  μπορεί να τέμνει μια ασύμπτωτή της.

Αν μια συνάρτηση $$f:ℝ\rightarrowℝ$$  είναι $$1-1$$ , τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της $$f$$  το πολύ σε ένα σημείο.

Αν οι συναρτήσεις $$f$$  και $$g$$  έχουν πεδίο ορισμού το $$\left[0,1\right]$$  και σύνολο τιμών το $$\left[2,3\right]$$ , τότε ορίζεται η $$f\circ g$$  με πεδίο ορισμού το $$\left[0,1\right]$$  και σύνολο τιμών το $$\left[2,3\right]$$ .

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $$f:ℝ\rightarrowℝ$$  και $$g:ℝ\rightarrowℝ$$ , αν $$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=0$$  και $$\lim_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=+\infty$$  τότε $$\lim_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=0$$ .

Για κάθε συνάρτηση $$f:ℝ\rightarrowℝ$$  που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει $$f'\left(x\right)\ne0$$  για κάθε $$x\inℝ$$ .

Αν $$0<\alpha<1$$ , τότε $$\lim_{x\rightarrow-\infty}\alpha^x=+\infty$$ .

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $$f:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrowℝ$$ , αν $$G$$ είναι μια παράγουσα της $$f$$  στο $$\left[\alpha,\beta\right]$$ , τότε $$\int_{\beta}^{\alpha}f\left(x\right)dx=G\left(\alpha\right)-G\left(\beta\right)$$ .

Μια συνάρτηση $$f$$  λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $$\Delta$$ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν $$x_1,\ x_2\in\Delta$$  με $$x_1<x_2$$ , ώστε $$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$$ .

Αν ένα σημείο $$M\left(\alpha,\beta\right)$$  ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης $$f$$ , τότε το σημείο $$M'\left(\beta,\alpha\right)$$  ανήκει στη γραφική παράσταση $$C'$$  της $$f^{-1}$$ .

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $$f:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrowℝ$$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $$\left(\alpha,\beta\right)$$ , αν $$f\left(\alpha\right)=f\left(\beta\right)$$ , τότε υπάρχει ακριβώς ένα $$ξ\in\left(\alpha,\beta\right)$$  τέτοιο ώστε $$f'\left(ξ\right)=0$$ .