Indicheremo conM m,n l’insieme delle matrici di tipom×n.

In una matrice quadrata, gli elementia i,i formano la diagonale principale.

Una matrice quadrata si dice diagonale se:a i,j = 0,∀i, j|i6=j(cio`e se tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli).

Una matrice quadrata si dice triangolare superiore sea ij = 0,∀i > j.

Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore sea ij = 0,∀i < j.

Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se a_ij = 0,∀i > j.

Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore sea ij = 0,∀i < j.

In una matrice quadrata, gli elementia ij ea ji che sono disposti simmetricamente rispetto alla diagonale principale, si dicono coniugati.

Se in una matrice quadrata ogni elemento `e uguale al suo coniugato la matrice si dice simmetrica.

Sia A una matrice di tipo m×n allora la matrice A^T con a^T i,j = a j,i `e detta matrice trasposta della matrice A. Osservazione: A^T `e di tipo n×m. (Dimostrare che (A^T)^T = A)

La matrice che ha ogni elemento uguale a zero si dice matrice nulla e si indica con O mn.

La matrice quadrata che ha tutti gli elementi della diagonale principale uguali ad 1 e tutti gli altri elementi nulli si dice matrice unit`a e si indica con I n.

Si dice sottomatrice di A, una matrice ottenuta sopprimendo alcune righe e/o colonne di A.

Due matrici si dicono uguali se sono dello stesso tipo e se hanno tutti gli elementi rispettivamente uguali.

Siano A= (a ij)e B= (b ij) due matrici di M m,n, si definisce somma tra A e B la matrice A+B∈M m,n il cui generico elemento `e (a+b) ij = a ij + b ij.

Sia A= (a ij)∈M m,n e sia k∈R. Si definisce prodotto della matrice A per il numero reale k la matrice kA∈M m,n che si ottiene moltiplicando ogni elemento di A per k.

Siano A= (a ij)∈M m,p e B= (b ij)∈M p,n si definisce prodotto (righe per colonne) di A per B la matrice AB∈M m,n il cui generico elemento `e: (ab) ij = ∑ a ir b rj.

Il prodotto tra due matrici può essere nullo pur essendo entrambe le matrici diverse dalla matrice nulla, non vale cioè la legge di annullamento del prodotto.

Si considerino matrici quadrate di ordine (o dimensione)n. Ad ogni matrice quadrata A si associa un numero reale detto determinante della matrice A che si indica: detA oppure |a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . an1 an2 . . . ann|.

Definizione 1.1.10 Sia A ∈ M n,n. Si definisce determinante di A la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i relativi complementi algebrici.

Nel caso di matrici di ordine n=2 si ha: det(a11 a12 a21 a22) = a11 a22 - a12 a21.

Definizione: Sia A ∈ M n,n. La matrice A si dice invertibile se esiste una matrice B tale che AB=BA=I n.

Teorema: Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Definizione: Si dice rango o caratteristica di una matrice l’ordine massimo dei suoi minori non nulli.

Qual è il rango di una matrice A se esiste una sottomatrice H di ordine k con determinante non nullo?

Come si scrive un generico sistema lineare di m equazioni in n incognite?

Cosa si dice di un sistema lineare se ammette almeno una soluzione?

Cosa si dice di un sistema lineare se la soluzione è unica?

Cosa si osserva riguardo a un sistema omogeneo?

Se il sistema è omogeneo ammette come unica soluzione la soluzione banale.

Il sistema è incompatibile.

Il sistema ammette infinite soluzioni.

Supponiamo che A, la matrice incompleta del sistema lineare, sia non singolare.

La soluzione del sistema è data da: x_i = A_i / |A|.

Il sistema ammette soluzione se e solo se la matrice completa e la matrice incompleta del sistema hanno la stessa caratteristica.

Il numero delle incognite è uguale alla caratteristica r.

Il numero delle incognite è maggiore della caratteristica r.

Calcolare A^{-1}B^2.

Dire per quali valori del parametrok∈Rla matriceA`e invertibile e per tali valori, calcolare la matrice inversa diA.

CalcolareC=ABe determinare il rango diCal variare dih∈R.

Dire per quali valori del parametrok∈Rla matriceA`e invertibile e calcolareA−1,(A−1)(−1)e(3A)−1.

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaAx=b.

Dimostrare che la matriceC=AA`e simmetrica. Si studi il sistemaCx=b.

Calcolare il sistemaAx=b.

Si studi, al variare del parametrok∈R, il sistemaAx=b. Essendo detA= 3k−3, sek6= 1 il sistema `e determinato e l’unica soluzione `e: (x1, x2, x3, x4) = (−1/3k+ 1/k−1, 2/3k−2/k−1,−1/3k+ 1/k−1,2/1k−1). Sek= 1 essendor(A)6=r(Ac), il sistema `e incompatibile.

Studiare le soluzioni del sistemaAx=b. Essendor(A) =r(Ac) = 3 il sistema `e determinato e l’unica soluzione `e: (x1, x2, x3) = (1,−3,4).

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaAx=b. Sek6= 1, essendor(A) =r(Ac) = 3, il sistema ammette l’unica soluzione: x= (0,−1/4,1/4). Sek= 1, risultar(A) =r(Ac) = 2, per il Teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette∞n−r=∞1 soluzioni: (x1, x2, x3) = (1−4t/2,−t, t) dovet∈R.

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaAx=b. Il rango della matriceA`e pari a 3 perk6=1±√5/2 e quindi il sistema risulta compatibile con unica soluzione: (x1, x2, x3) = (k(k−1)/−k^2+k+ 1,−k(2−k)/−k^2+k+ 1,−k/−k^2+k+ 1). Sek=1±√5/2 allorar(Ac) = 36=r(A) = 2, quindi il sistema `e incompatibile.

Determinare per quali valori dik∈Rla matriceA`e invertibile e per tali valori calcolareA−1. Si studi il sistemaA−1x=b. Il detA6= 0 sek6= 1 quindi la matrice `e invertibile e A−1 = (0,1,k−1,1,k−1,0,k,k−1,1,k−1,−1,3k,k−1,k+2,k−1). Si noti che, dove `e definita, la matriceA−1`e non singolare, quindi il sistema (omogeneo)A−1x=b ammette come unica soluzione (x1,x2,x3) = (0,0,0).

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaA−1x=b.

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaAx=b. Si noti cher(A) = 2 er(Ac) = 2 perk= 2. Quindi sek6= 2 il sistema `e incompatibile, mentre sek= 2, il sistema ammette∞1 soluzioni: (x1, x2, x3) = (4(t−1),3(1−t), t) cont∈R.

Calcolare le soluzioni del sistemaAx= 0. Si ha detA=−220−44kda cui detA= 0 perk=−5. Il sistema omogeneo Ax= 0, sek6=−5, `e determinato e l’unica soluzione `e la soluzione banale (x1, x2, x3, x4) = (0,0,0,0). Sek=−5, per il teorema di Rouch ́e Capelli, il sistema ammette∞1 soluzioni: (x1, x2, x3, x4) = (t,−5t,−26/11t,−8/11t), cont∈R.

Si studi al variare del parametrok∈Ril sistemaAx=b. Essendor(A) = 2 =r(Ac) perk=−5/7 si ha che perk6=−5/7 il sistema non ha soluzioni. Se invecek=−5/7, il sistema ammette∞n−r=∞1 soluzioni date da (x1, x2, x3) = (1/14,3/14, t),∀t∈R.

Si studi, al variare del parametrok∈R, il sistema(A−2B)x=b. Si tratta di un sistema omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite e det(A−2B) = 0 perk=−2/7. Sek6=−2/7 il sistema ammette come unica soluzione quella banale. Sek=−2/7 il sistema ammette∞1 soluzioni: (x1, x2, x3) = (−69/28t,t/4,t) al variare del parametrot∈R.

Si studi, al variare del parametrok∈R, il sistemaAx=b. Vale cher(Ac) =r(A) = 3 perk= 1. Per il teorema di Rouch ́e Capelli, se k6= 1 il sistema `e incompatibile, sek= 1 il sistema ammette∞n−r=∞0 soluzioni, in particolare l’unica soluzione `e: (x1, x2, x3) = (−3,4,−4).