จากสมการ xy + 2x + y = 7
yz + 3y + 2z = 12
zx + z + 3x = 15
โดยที่ z < y < x < 0 ; จงหาค่าของ xyz (เตรียมอุดมฯ 60)

(a)  

อัลเบิร์ตและเบอร์นาร์ดเพิ่งกลายเป็นเพื่อนกับเชอริล และพวกเขาอยากรู้ว่าวันเกิดของเธอคือวันไหน

เชอริลให้รายชื่อวันที่เป็นไปได้ 10 วันแก่พวกเขา:

• วันที่ 15 พฤษภาคม, 16 พฤษภาคม, 19 พฤษภาคม

• วันที่ 17 มิถุนายน, 18 มิถุนายน

• วันที่ 14 กรกฎาคม, 16 กรกฎาคม

• 14 สิงหาคม, 15 สิงหาคม, 17 สิงหาคม

จากนั้นเชอริลก็บอกอัลเบิร์ตและเบอร์นาร์ดแยกกันถึงเดือนและวันเกิดของเธอตามลำดับ

อัลเบิร์ต: ฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ฉันรู้ว่าเบอร์นาร์ดก็ไม่รู้เหมือนกัน

เบอร์นาด: ตอนแรกฉันไม่รู้ว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน แต่ตอนนี้ฉันรู้แล้ว

อัลเบิร์ต: แล้วฉันก็รู้ด้วยว่าวันเกิดของเชอริลคือวันไหน

แล้ววันเกิดของเชอริลคือเมื่อไหร่?

(a)  

ให้ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส Q เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน CD, P เป็นจุดบนด้าน CD ที่ทําให้ ขนาด

ของ BAPb เป็นสองเท่าของขนาดของ DAQb ถ้า AP = 20 หน่วย และ CP = 4 หน่วย แล้วจงหาความ

ยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ADP

(a)  

ถ้า m, n เป็นจํานวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ a, b เป็นจํานวนนับ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ

ma + 2b = 5

3a + nb = 0

แล้วค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ a + b + m + n เท่ากับเท่าใด

(a)  

สําหรับจํานวนจริง x ให้⌊x⌋ เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x

ถ้า a เป็นผลรวมของจํานวนจริง x ทั้งหมดซึ่ง ⌊4x + 1⌋ = 3x − $$\frac{1}{2}$$ แล้ว −10a เท่ากับเท่าใด

(a)  

มีสมการ 4 สมการ และมีตัวเลือกเป็นคําตอบให้จับคู่กับสมการอยู่ 6 ตัว นักเรียนคนหนึ่งมั่นใจว่าแก้สมการ

ได้ถูกต้อง 2 สมการแรก และต้องเดาคําตอบอีก 2 สมการที่เหลือ ถ้าความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะจับคู่

สมการกับคําตอบได้ถูกต้องอย่างน้อย 3 สมการ อยู่ในรูป $$\frac{a}{b}$$ เมื่อ a และ b เป็นจํานวนนับที่ไม่มีตัวประกอบ

ร่วมกัน แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด

(a)  

พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้

1, 6, 2, 12, ♠, 24, 8, ♦, ♣, 96, 32, . . .

จงหาค่าของ ♠ + ♦ + ♣

(a)  

เจ้าหน้าที่สวนสัตว์จัดแบ่งผลไม้ให้ฮิปโปแคระสามตัว ได้แก่ หมูเด้ง หมูตุ๋น และหมูหวาน โดยมีเงื่อนไขดังนี้

• หมูเด้งได้รับผลไม้มากกว่าหมูหวาน และ หมูหวานได้รับผลไม้มากกว่าหมูตุ๋น

• ถ้าหมูเด้งแบ่งผลไม้ที่ได้รับมา ให้หมูตุ๋น 6 ผล และให้หมูหวาน 4 ผล

แล้วผลไม้ของหมูเด้ง หมูตุ๋น และหมูหวานจะมีจํานวนเท่ากัน

อยากทราบว่า ค่าเฉลี่ยของจํานวนผลไม้ที่หมูหวานและหมูตุ๋นได้รับในตอนแรก น้อยกว่าจํานวนผลไม้ที่

หมูเด้งได้รับกี่ผล

(a)  

กําหนดให้ABC เป็นจํานวนคี่สามหลักที่เกิดจากการเขียนเลขโดด A, B และ C เรียงติดกัน

เมื่อเขียนจํานวนคี่เรียงติดกันจากซ้ายไปขวาตั้งแต่ 1 จนถึง ABC จนได้จํานวนดังต่อไปนี้

1357911131517192123...ABC

จงหาค่าของ A + B + C ที่ทําให้ผลบวกของเลขโดดทั้งหมดในจํานวนที่เขียนนี้ มีค่าเท่ากับ 1024

(a)  

ในอาณาจักรแห่งหนึ่ง มีประชากรทั้งหมด 15,000 คน ทุกคนในอาณาจักรนี้เป็น “ผู้พิทักษ์แห่งลม” หรือ

“ปราชญ์แห่งแสง” หรืออาจเป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน จากการสํารวจสํามะโนประชากร พบว่า

• ทุกคนที่เป็นผู้พิทักษ์แห่งลมจะต้องไม่เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ เนื่องจากพวกเขามีภารกิจในการ

รักษาความสงบและคอยปกปิดความลับที่แท้จริงของอาณาจักร

• หากใครไม่เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ คนผู้นั้นจะไม่สามารถเป็นปราชญ์แห่งแสงได้ เนื่องจากปราชญ์

แห่งแสงมีภารกิจในการเปิดเผยความจริงและนําแสงสว่างมาสู่อาณาจักร

• มีคนที่พูดความจริงเสมอเพียง 6,000 คน

จงหาผลต่างระหว่างจํานวนผู้พิทักษ์แห่งลมและปราชญ์แห่งแสงในอาณาจักรแห่งนี้

(a)