Free Printable Untitled Quiz

1.

Функциясы z = $xy^2$ − $\sqrt{x}$ /y үшін M(4; −1) нүктесінде толық дифференциалды табыңыз: dz = $\frac{5}{4}$ dx − 6 dy.

a)

dz = $\frac{5}{4}$ dx − 6 dy

b)

dz = 3( $\frac{1}{2}$ ∂x − 2 ∂y )

c)

dz = $\frac{3}{4}$ dx + 10 dy

d)

dz = −6( dx + dy )

e)

dz = $\frac{17}{4}$ ∂x − 10 ∂y

2.

Функциясы z = $\arcsin\!\left(\frac{x}{y^2}\right)$ үшін толық дифференциалды табыңыз.

a)

dz = $\dfrac{y\,dx - 2x\,dy}{\,y\,\sqrt{\,y^4 - x^2\,}}$

b)

dz = $\dfrac{y\,dx + 2x\,dy}{\,y^2\,\sqrt{\,y^2 - x^2\,}}$

c)

dz = $\dfrac{y^2\,(dx+dy)}{\,\sqrt{\,y^4 - x^2\,}}$

d)

dz = $\dfrac{y\,dx + x\,dy}{\,y\,\sqrt{\,y^4 - x^2\,}}$

3.

Функциясы u = $\arctan(xyz)$ үшін толық дифференциалды табыңыз.

a)

du = $\dfrac{yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz}{\,1 + (xyz)^2\,}$

b)

du = $\dfrac{dx}{1 + x^2yz} + \dfrac{dy}{1 + y^2xz} + \dfrac{dz}{1 + z^2xy}$

c)

du = $yzdx + xzdy + xydz$

d)

du = $\dfrac{dx + dy + dz}{1 + (xyz)^2}$

4.

Функциясы z = $e^{xy}$ үшін $\dfrac{dz}{dt}$ табыңыз, мұндағы x = $3t + 1$ , y = $t − 1$ .

a)

$\dfrac{dz}{dt}$ = $e^{(3t+1)(t-1)}\,(3y + x)$

b)

$\dfrac{dz}{dt}$ = $e^{(3t+1)(t-1)}\,(3(t-1) + (3t+1))$

c)

$\dfrac{dz}{dt}$ = $e^{(3t+1)(t-1)}\,(3t - 2)$

d)

$\dfrac{dz}{dt}$ = $2(3t - 2)\,e^{(3t+1)(t-1)}$

5.

Күрделі функция z = x ln y үшін $\dfrac{\partial z}{\partial u}$ табыңыз, мұндағы x = u + v, y = $u^{v}$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $\dfrac{u+v}{u} + v\ln u$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $\ln u\,v$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $\ln(u^{v})$

d)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $(1+u+v)\ln(uv)$

6.

Күрделі функция z = x ln y үшін $\dfrac{\partial z}{\partial v}$ табыңыз, мұндағы x = u + v, y = $u^{v}$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $\dfrac{u+v}{v} + \ln u\,v$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $\dfrac{u+v}{u} + \ln u\,v$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $\ln u\,v$

d)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $1 + u$

7.

Күрделі функция z = $x^2y$ үшін $\dfrac{\partial z}{\partial u}$ табыңыз, егер x = $u − 2v$ , y = $2u + v$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $2(u − 2v)(3u − v)$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $(u − 2v)(2 + u − 2v)$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = 3

d)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $2(u − 2v)^2$

8.

Күрделі функция z = $x^2y$ үшін $\dfrac{\partial z}{\partial v}$ табыңыз, егер x = $u − 2v$ , y = $2u + v$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $(2v − u)(7u + 6v)$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $5u(u − 2v)$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $(u − 2v)(6u^2 − 8u − u v − 4v − 2v^2)$

d)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $(u − 2v)(9u + 2v)$

9.

Күрделі функция z = x + xy үшін $\dfrac{\partial z}{\partial u}$ табыңыз, егер x = u + v, y = $u − v$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $2u + 1$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $1 + u − v$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = 2u

d)

$\dfrac{\partial z}{\partial u}$ = $1 + 2u + v − 2v^2$

10.

Күрделі функция z = x + xy үшін $\dfrac{\partial z}{\partial v}$ табыңыз, егер x = u + v, y = $u − v$ .

a)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $1 − 2v$

b)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $1 + 2u$

c)

$\dfrac{\partial z}{\partial v}$ = $−2v$

11.

z=f(x,y) — айқын емес функциясы $z^3+3x^2y+xz+y^2z^2+y-2x=0$ теңдеумен анықталатын болсын. $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ мәнін есептеңіз.

a)

_ $\dfrac{6xy+z-2}{3z^2+x+2y^2z}$

b)

$\dfrac{6xy+3x^2+z+x-2}{3z^2+2zy^2+2yz^2}$

c)

$\dfrac{6xy+3x^2+z+x-2}{3z^2+2zy^2}$

d)

_ $\dfrac{6xy+z-2}{3x^2+2y^2+1}$

e)

$\dfrac{6xy+z-2}{3z^2+x+2y^2z}$

12.

z=f(x,y) — айқын емес функциясы $x^2y^3+y^2z^3-3xz+z=0$ теңдеумен анықталатын болсын. Нүктеде $M(-1;\,3;\,-5)$ $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ мәнін есептеңіз.

a)

$\dfrac{39}{679}$

b)

$\dfrac{39}{75}$

c)

$\dfrac{69}{125}$

d)

$\dfrac{9}{67}$

13.

z=f(x,y) — айқын емес функциясы $x^3-y^3z+7x^2y+5xz^2-12=0$ теңдеумен анықталатын болсын. Нүктеде $M(2;\,-1;\,3)$ $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ мәнін есептеңіз.

a)

$-\frac{19}{61}$

b)

$\dfrac{117}{97}$

c)

$\dfrac{-10}{19}$

d)

$\dfrac{29}{59}$

e)

$\dfrac{-32}{113}$

14.

z=f(x,y) — айқын емес функциясы $\dfrac{x}{z}=\ln\!\left(\dfrac{z}{y}\right)+1$ теңдеумен анықталатын болсын. $dz$ дифференциалын есептеңіз.

a)

$dz=\dfrac{z\,(y\,dx+z\,dy)}{y\,(x+z)}$

b)

$dz=\dfrac{z^{2}\,(y\,dx+x\,dy)}{xy\,(x+yz)}$

c)

$dz=-(x+z)\,y\,dx+z^{2}\,dy$

d)

$dz=\dfrac{yz^{3}\,dx+dy}{y^{2}(x+z)}$

e)

$dz=-\dfrac{z^{2}\,(y\,dx+x\,dy)}{xy\,(x+yz)}$

15.

$g(x,y)=\dfrac{xy}{x-y}$ функциясы берілген. Аралас екінші туындыны есептеңіз: $\dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\,\partial x}$ .

a)

$\dfrac{x}{(x-y)^{2}}$

b)

$-\dfrac{2xy}{(x-y)^{3}}$

c)

$-\dfrac{2y}{(x-y)^{3}}$

d)

$\dfrac{x-2y}{(x-y)^{2}}$

e)

$\dfrac{2x^{2}}{(x-y)^{3}}$

16.

$z(x,y)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$ функциясы берілген. Екінші реттік туындыны есептеңіз: $\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}$ .

a)

$-\dfrac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

b)

$\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}$

c)

$0$

d)

$\dfrac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

e)

$\dfrac{2x(x^{2}+y^{2}-xy)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

17.

$u(x,y)=\sin(xy)+\cos(xy)$ функциясы берілген. Екінші реттік туындыны есептеңіз: $\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$ .

a)

$-y^{2}\,[\cos(xy)+\sin(xy)]$

b)

$\sin(xy)-y\cos(xy)$

c)

$-y^{3}\cos(xy)$

d)

$2x\cos(xy)+y\sin(xy)$

e)

$(1-y^{2})\sin(xy)-yx\cos(xy)$

18.

$u(x,y)=e^{xy^{3}}$ функциясы берілген. Екінші реттік туындыны есептеңіз: $\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$ .

a)

$3xy\,e^{xy^{3}}\,(2+3y^{3}x)$

b)

$6xy\,e^{x}$

c)

$e^{xy^{3}}$

d)

$3x\,e^{xy^{3}}\,(1+3y^{3}x)$

e)

$6xy\,e^{xy^{3}}$

19.

$g(x,y)=x\,\ln(xy)$ функциясы берілген. Аралас екінші туындыны есептеңіз: $\dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\,\partial x}$ .

a)

$\dfrac{1}{y}$

b)

$\dfrac{y-x}{y^{2}}$

c)

$\dfrac{1}{x}$

d)

$\dfrac{1}{xy}$

e)

$\dfrac{y-x}{y^{2}x}$

20.

$z(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}-xy^{2}+\dfrac{x^{2}}{2}-3xy-2x+y^{2}+3y$ функциясының стационар нүктелерін табыңыз.

a)

$P(1,0),M(1,-3),$

b)

$(1,3),\,\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)$

c)

$(0,0),\,(1,-3)$

d)

$(1,0),\,(0,-3)$

21.

$z(x, y)=14x^3+27xy^2-69x-54y$ функциясының стационар нүктелерін табыңыз.

a)

P(1; 1), M(-1; -1)

b)

N(-3/√14; √14/3), K(3/√14; √14/3)

c)

D(3/√14; √14/3), H(-3/√14; √14/3)

d)

L(1; -1), G(1; -1)

e)

K(3/√14; √14/3), D(3/√14; √14/3)

22.

$z(x, y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$ функциясының стационар нүктелерін табыңыз.

a)

A(0; 0), B(-√2; √2), C(√2; -√2)

b)

N(-√2; -√2), D(√2; √2), A(0; 0)

c)

B(-√2; √2), C(√2; -√2), N(-√2; -√2)

d)

N(-√2; -√2), D(√2; √2), B(-√2; √2)

e)

B(-√2; √2), C(√2; -√2), D(√2; √2)

23.

$z(x, y)=2x^3+2y^3-36xy+10$ функциясының стационар нүктелерін табыңыз.

a)

A(0; 0), B(6; 6)

b)

B(6; 6), D(-6; 6)

c)

A(0; 0), C(216; 36)

d)

A(0; 0), N(-216; 36)

e)

D(-6; 6), N(-216; 36)

24.

$z=x^2-xy+y^2+9x-6y+20$ функциясының $P(x_0, y_0)$ стационар нүктесін табыңыз.

a)

P(-4; 1)

b)

P(8; 7)

c)

P(-2/5; 4/5)

d)

P(-9/2; 3)

e)

P(-8; -1)

25.

$z=x^3+8y^3-6xy+5$ функциясының $P(0; 0)$ , $M(1; 0{,}5)$ стационар нүктелерінің қайсысы оның экстремум нүктесі болып табылады?

a)

M(1; 0,5) – функцияның минимум нүктесі

b)

P(0; 0) – функцияның максимум нүктесі

c)

P(0; 0) – функцияның минимум нүктесі

d)

M(1; 0,5) – функцияның максимум нүктесі

e)

M(1; 0,5) – экстремум нүкте емес

26.

$z=(x-2)^2+2y^2-10$ функциясының $P(x_0, y_0)$ экстремум нүктелерін табыңыз.

a)

P(2; 0) – максимум нүкте

b)

P(7; 0) – максимум нүкте

c)

экстремум нүктелері жоқ

d)

P(-2; 0) – максимум нүкте

e)

P(-2; 1) – максимум нүкте

27.

$z=x^2+y^2-xy+x+y$ функциясының $P(x_0, y_0)$ экстремум нүктелерін табыңыз.

a)

P(-1; -1) – максимум нүкте

b)

P(1/3; -1/3) – максимум нүкте

c)

P(1; -1) – максимум нүкте

d)

P(-1/3; 1/3) – максимум нүкте

e)

P(-3; -1) – максимум нүкте

28.

$L(0; 0)$ , $K(-1; -1)$ , $H(1; 1)$ нүктелерінің қайсысы $z=3x^3+3y^3-9xy+10$ функциясының экстремум нүктелері болып табылады?

a)

H(1; 1) – минимум нүкте

b)

K(-1; -1) – максимум нүкте

c)

L(0; 0) – минимум нүкте

d)

H(1; 1) – максимум нүкте

e)

L(0; 0) – максимум нүкте

29.

$z=y\sqrt{x-2}\,y^2-x+14y$ функциясының $P(4; 4)$ максимум нүктесіндегі ең үлкен мәні мынаған тең:

a)

28

b)

-14

c)

40

d)

-2

e)

76

30.

$z=x^2+xy+y^2-6x-9y$ функциясы ең кіші мәнін қабылдайтын $P(x_0, y_0)$ нүктесін табыңыз.

a)

P(1; 4)

b)

P(3; 3)

c)

P(2; 5)

d)

P(-1; 4)

e)

P(1; -4)

31.

Функцияның ең үлкен мәні орналасқан Ox сандық осінің аралығын көрсетіңіз: $z(x,y)=xy(6-x-y)$ .

a)

$[1,9]$

b)

$[-2,7]$

c)

$[10,12]$

d)

$[1,5]$

e)

$[3,4]$

32.

Функцияның ең кіші мәні орналасқан Ox сандық осінің аралығын көрсетіңіз: $z(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y$ .

a)

$[-1,7]$

b)

$[-10,-4]$

c)

$(0,4]$

d)

$[5,12]$

e)

$[-5,-2]$

33.

Функцияның ең кіші мәні орналасқан Ox сандық осінің аралығын көрсетіңіз: $z(x,y)=x^3+y^2-6xy-39x+18y+20$ .

a)

$[-90,-84]$

b)

$[-80,-74]$

c)

$(0,24]$

d)

$[85,91]$

e)

$[-21,7]$

34.

$z=x^2+y^{-xy}+x+y$ функциясының $P(-1;-1)$ минимум нүктесіндегі ең кіші мәні неге тең?

a)

$-1$

b)

$1$

c)

$5$

d)

$-4$

e)

$0$

35.

$x=1$ , $x=2$ , $y=0$ , $y=2$ түзулерімен шектелген тікбұрышты $D$ облысы бойынша $\int\!\!\int\limits_D (x+y^2)\,dx\,dy$ мәнін есептеңіз.

a)

$7$

b)

$11$

c)

$\tfrac{7}{2}$

d)

$-7$

e)

$\tfrac{1}{2}$

36.

Тікбұрышты параллелепипедпен шектелген облыс T: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ g үшін ∭_T f(x, y, z) dv үш еселі интегралды есептеу формуласының дұрыс жазылуын таңдаңыз.

a)

$∫_a^b ∫_c^d ∫_e^g f(x, y, z) dz dy dx$

b)

$\int_e^g \int_c^d \int_a^b f(x, y, z) dx dy dz$

c)

$∫_a^b ∫_e^g ∫_c^d f(x, y, z) dy dz dx$

d)

$∫_c^d ∫_a^b ∫_e^g f(x, y, z) dz dx dy$

37.

Облыс T: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 үшін ∭_T 1 dxdydz мәнін табыңыз.

a)

$6$

b)

$10$

c)

$4$

d)

$18$

e)

$12$

38.

Облыс T: 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 5 үшін ∭_T $x^2 y^2 z$ dxdydz мәнін табыңыз.

a)

$\frac{728}{3}$

b)

$560$

c)

$32$

d)

$4368$

e)

$\frac{8}{3}$

39.

Интегралдың мәнін табыңыз: $\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz \, dy \, dx.$

a)

$\frac{1}{6}$

b)

$\frac{1}{3}$

c)

$\frac{1}{12}$

d)

$\frac{1}{2}$

40.

Жоғары беті z = ψ₂(x, y), төменгі беті z = ψ₁(x, y) және бүйір беттері Oz осіне параллель цилиндрлік бет арқылы шектелген облыс T үшін ∭_T f(x, y, z) dv үш еселі интегралды есептеу формуласының дұрыс түрін таңдаңыз.

a)

$∬_D \left[∫_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)} f(x, y, z) \, dz\right] dx dy$

b)

$∬_D \left[∫_{\psi_2(x,y)}^{\psi_1(x,y)} f(x, y, z) \, dz\right] dx dy$

c)

$∬_D \left[∫_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)} f(x, y, z) \, dx\right] dy dz$

d)

$∬_D \left[∫_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)} f(x, y, z) \, dy\right] dx dz$

41.

Интегралдың мәнін табыңыз: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} dz\,dy\,dx$

a)

$\tfrac{1}{6}$

b)

$-\tfrac{1}{3}$

c)

$\tfrac{1}{4}$

42.

Интегралдың мәнін табыңыз: $\int_{-1}^{2} \int_{0}^{2} \int_{y^{2}+2}^{4-y^{2}} dz\,dy\,dx$

a)

$=4$

b)

$=12$

c)

$=-2$

d)

$=10$

e)

$\tfrac{8}{3}$

43.

Беттік тығыздығы $\rho=\rho(x,y,z)$ болатын және $T$ аймағын алып жатқан кеңістіктік дененің массасын анықтау формуласы көрсетілсін.

a)

$M=\int_{T}\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

b)

$M=\int_{T}f(x)\,dy\,dz$

c)

$M=\rho(x,y,z)\int_{T}fy\,dx\,dy\,dz$

d)

$M=\int_{T}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz$

e)

$M=\int_{T}(x^{3}+y+z)\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

44.

Беттік тығыздығы $\rho=\rho(x,y,z)$ болатын және $T$ аймағын алып жатқан кеңістіктік дененің ауырлық центрінің $X_c$ координатасын көрсетіңіз, мұндағы $M$ — дененің массасы.