Wayground logo

Free Printable Worksheets

Font size

S
M
L
XL
Worksheets

Arithmetic and Geometric Progressions: Basic Problems

Total questions: 125

Worksheet time: 21mins

Name
Class
Date
1.

В арифметической прогрессии a1 = 7, a2 = 11. Найдите разность d.

a)

5

b)

6

c)

4

d)

3

2.

В арифметической прогрессии a1 = 5, d = −2. Найдите a2.

a)

3

b)

1

c)

0

d)

2

3.

Найдите десятый член арифметической прогрессии 3, 7, 11, …

a)

39

b)

43

c)

47

d)

35

4.

В арифметической прогрессии a5 = 15, a9 = 23. Найдите d.

a)

1.5

b)

2

c)

2.5

d)

3

5.

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии 5, 9, 13, …

a)

700

b)

760

c)

780

d)

820

6.

Сколько положительных членов имеет прогрессия −103, −97, −91, …?

a)

16

b)

19

c)

17

d)

18

7.

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

a)

4950

b)

5050

c)

5000

d)

5150

8.

В арифметической прогрессии a1 неизвестен, d = 1, a8 = 12. Найдите сумму первых 16 членов.

a)

184

b)

208

c)

192

d)

200

9.

Определите номер члена арифметической прогрессии 12, 9, 6, … равного −18.

a)

9

b)

10

c)

11

d)

12

10.

Дана прогрессия 4, 8, 12, … Является ли число 124 её членом? Если да, укажите номер.

a)

Нет

b)

Да, 32-й

c)

Да, 31-й

d)

Да, 30-й

11.

В арифметической прогрессии сумма первых n членов S10 = 185, d = 3. Найдите a1.

a)

3

b)

5

c)

4

d)

2

12.

В арифметической прогрессии a1 = −2, S7 = 49. Найдите d.

a)

5

b)

4

c)

6

d)

3

13.

В прогрессии a3 + a6 = 20 для арифметической прогрессии найдите S8.

a)

92

b)

80

c)

84

d)

88

14.

Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 10. Найдите сумму первых девяти членов.

a)

48

b)

60

c)

45

d)

54

15.

В арифметической прогрессии второй член равен 9, разность равна 4. Найдите сумму первых восьми членов.

a)

148

b)

144

c)

140

d)

152

16.

Найдите сумму всех чётных натуральных чисел, не превосходящих 150.

a)

5700

b)

5550

c)

5676

d)

5600

17.

Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел.

a)

5050

b)

5005

c)

4945

d)

4905

18.

Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

a)

2700

b)

2430

c)

2475

d)

2535

19.

При каких значениях x числа 3x−2, x+4, 2x+6 образуют арифметическую прогрессию?

a)

x = 10

b)

x = 4

c)

x = 6

d)

x = 8

20.

Числа a, b, c — последовательные члены арифметической прогрессии. Верно ли равенство a2+8bc=(2b+c)2a^2 + 8bc = (2b + c)^2 ?

a)

Верно при b=0

b)

Неверно вообще

c)

Верно при a=0

d)

Всегда верно

21.

В арифметической прогрессии a6 = −5, a16 = 45. Найдите S21.

a)

315

b)

330

c)

345

d)

360

22.

Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, произведение равно 45. Найдите сумму первых десяти членов.

a)

170

b)

160

c)

150

d)

140

23.

Найдите a1 и d арифметической прогрессии, если S5 = 65, S10 = 230.

a)

a1=9, d=2

b)

a1=3, d=5

c)

a1=5, d=4

d)

a1=7, d=3

24.

Турист в первый день прошёл 15 км, каждый следующий день увеличивал путь на 2 км. Сколько километров он прошёл за 10 дней?

a)

230

b)

250

c)

260

d)

240

25.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на её второй член получается 5, а при делении тринадцатого на шестой получается 2 с остатком 5. Найдите a1 и d.

a)

a1=4, d=2

b)

a1=3, d=1

c)

a1=2, d=1

d)

a1=1, d=2

26.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b1 = 8, b2 = 4.

a)

4

b)

1/2

c)

1/4

d)

2

27.

Найдите пятый член геометрической прогрессии 2, 6, 18, …

a)

1458

b)

486

c)

162

d)

54

28.

В геометрической прогрессии b3 = 12, b5 = 48. Найдите b1 и q.

a)

b1=3, q=2

b)

b1=12, q=2

c)

b1=4, q=2

d)

b1=6, q=2

29.

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, …

a)

381

b)

93

c)

189

d)

759

30.

Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии с b1 = 81, q = 1/3.

a)

124

b)

122

c)

123

d)

121

31.

Найдите сумму 5 + 10 + 20 + … + 160 для геометрической прогрессии.

a)

315

b)

320

c)

330

d)

325

32.

В геометрической прогрессии b4 = 24, b7 = 192. Найдите S6.

a)

216

b)

144

c)

168

d)

192

33.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 18 + 6 + 2 + 2/3 + …

a)

27.5

b)

26.5

c)

26

d)

27

34.

Представьте периодическую десятичную дробь 0,(7) в виде обыкновенной дроби, используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

a)

5/7

b)

2/3

c)

3/4

d)

7/9

35.

Между числами 3 и 192 вставлены три числа так, что все пять чисел образуют геометрическую прогрессию. Чему равен знаменатель прогрессии?

a)

4

b)

2

c)

sqrt(4)

d)

3

36.

В геометрической прогрессии второй член равен 6, пятый — 48. Чему равен знаменатель прогрессии?

a)

2

b)

3/2

c)

4/3

d)

8

37.

Какой номер имеет член последовательности 1/8, 1/4, 1/2, ... равный 64?

a)

8

b)

11

c)

9

d)

10

38.

Сумма первого и второго членов арифметической прогрессии равна 15, а сумма второго и третьего равна 30. Чему равны первые три члена?

a)

6,9,12

b)

7,8,15

c)

5,10,20

d)

4,11,18

39.

В геометрической прогрессии произведение первого и третьего членов равно 144, а сумма первых трёх равна 42. Найдите первый член, если все члены положительны.

a)

12

b)

9

c)

8

d)

6

40.

Известно, что сумма первых двух членов арифметической прогрессии равна 8, а сумма первых четырёх — 80. Чему равна сумма первых десяти членов?

a)

200

b)

220

c)

240

d)

260

41.

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 32, а второй член равен 8. Найдите первый член.

a)

12

b)

20

c)

8

d)

16

42.

Вычислите сумму ряда: 9 - 3 + 1 - 1/3 + ... (бесконечная сумма).

a)

27/6

b)

27/5

c)

9/2

d)

27/4

43.

Три числа образуют геометрическую прогрессию с суммой 31. Если к ним прибавить соответственно 1, 3, 11, получится арифметическая прогрессия. Чему равно среднее из исходных трёх чисел?

a)

14

b)

12

c)

10

d)

8

44.

Найдите x, если числа x, x+4, x+20 образуют геометрическую прогрессию.

a)

0

b)

4

c)

-5

d)

-4

45.

В равнобедренном треугольнике углы при основании образуют геометрическую прогрессию, а наибольший угол равен 100°. Чему равны остальные углы?

a)

30°,30°

b)

35°,45°

c)

30°,50°

d)

40°,40°

46.

Бактерия делится каждые 20 минут. Сколько бактерий будет через 6 часов, если начальное количество равно 1?

a)

4096

b)

512

c)

128

d)

64

47.

Мяч падает с высоты 10 м. Каждый раз после отскока он поднимается на 3/4 предыдущей высоты. Какое расстояние мяч пролетит до полной остановки?

a)

40 м

b)

50 м

c)

70 м

d)

80 м

48.

Найдите сумму 12+24+38+416+...+n2n+...\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + ... + \frac{n}{2^n} + ... (бесконечная сумма).

a)

4

b)

3

c)

2

d)

1

49.

Найдите сумму всех натуральных степеней числа 2, начиная с 212^1 до 2n2^n , которые делятся на 3.

a)

(23k+3−8)/3(2^{3k+3}-8)/3

b)

(23k+3−8)/7(2^{3k+3}-8)/7

c)

(23k−1)/3(2^{3k}-1)/3

d)

(23k−2)3\frac{(2^{3k}-2)}{3}

50.

В треугольнике ABC проведена средняя линия MN (M ∈ AB, N ∈ BC). Во сколько раз площадь треугольника MBN меньше площади треугольника ABC?

a)

в 2 раза меньше

b)

в 4 раза меньше

c)

в 3 раза меньше

d)

в 6 раз меньше

51.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CH. Какие треугольники подобны?

a)

ACH и ABC

b)

ACB и ABH

c)

ACH и BCH

d)

BCH и ABC

52.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки 4 и 9. Чему равна эта высота?

a)

√13

b)

√36

c)

6/√13

d)

12/√13

53.

Из точки на расстоянии 6 м от плоскости проведены две наклонные под углами 30° и 45° к плоскости. Каково расстояние между основаниями наклонных, если их проекции перпендикулярны?

a)

6(1/√3+1) м

b)

6(√3−1) м

c)

6(√2−1) м

d)

6(√3+1) м

54.

Масштаб карты 1:50000. Какое расстояние на местности соответствует 8 см на карте?

a)

0.8 км

b)

8.0 км

c)

2.5 км

d)

4.0 км

55.

Два шеста высотой 3 м и 5 м соединены перекладиной на высоте 1 м от земли. На какой высоте от земли находится середина перекладины, если длина перекладины 1 м? (Шесты вертикальны, земля горизонтальна)

a)

1 м

b)

4 м

c)

2 м

d)

3 м

56.

Тень от дерева длиной 15 м, а от человека ростом 1.8 м — 2.4 м. Какова высота дерева при одинаковых углах солнца?

a)

9.0 м

b)

11.25 м

c)

12.5 м

d)

15.0 м

57.

В треугольнике проведены две средние линии. Как относятся площади центрального треугольника и исходного?

a)

1:8

b)

1:3

c)

1:4

d)

1:2

58.

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь на части 1:3. В каком отношении эта прямая делит боковые стороны?

a)

1:√3

b)

1:2

c)

2:3

d)

1:3

59.

В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении BD:DC = 3:2. Каково отношение площадей треугольников ABD и ADC?

a)

2:3

b)

3:2

c)

4:9

d)

9:4

60.

Стороны треугольника равны 13, 14, 15. На какие отрезки делит сторону 14 биссектриса большего угла?

a)

6 и 8

b)

8 и 6

c)

7 и 7

d)

9 и 5

61.

Медианы треугольника пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если площадь ABC равна 36.

a)

18

b)

12

c)

9

d)

6

62.

В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 5 и 20. Найдите меньший катет.

a)

10√3

b)

25/2√2

c)

5√13

d)

15

e)

5√5

63.

Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

a)

2/3

b)

1/3

c)

1/2

d)

1/√5

e)

√2/3

64.

Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти углы, если известно, что наибольший угол в 5 раз больше наименьшего.

a)

30°, 60°, 90°

b)

15°, 45°, 120°

c)

20°, 60°, 100°

d)

25°, 55°, 100°

e)

10°, 50°, 120°

65.

Три числа, сумма которых равна 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как первый, четвёртый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

a)

18, 38, 58

b)

16, 38, 60

c)

12, 38, 64

d)

14, 38, 62

e)

20, 38, 56

66.

В арифметической прогрессии a7 + a9 = 20, S15 = 150. Найдите разность прогрессии.

a)

3

b)

2

c)

4

d)

5

e)

1

67.

В геометрической прогрессии b1 + b3 = 30, b2 + b4 = 90. Найдите первые четыре члена.

a)

5, 10, 20, 40

b)

6, 9, 13.5, 20.25

c)

9, 15, 25, 41.67

d)

10, 15, 22.5, 33.75

e)

7.5, 15, 30, 60

68.

В подобных треугольниках стороны одного относятся как 3:4:5, а периметр второго равен 48. Найдите площадь второго треугольника, если площадь первого равна 18.

a)

80

b)

48

c)

54

d)

64

e)

72

69.

В арифметической прогрессии Sn = 3n² + 2n. Найдите её сотый член.

a)

600

b)

599

c)

601

d)

598

e)

597

70.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма её первых двух членов равна 9/2. Найдите первый член и знаменатель.

a)

a1=4, q=1/4

b)

a1=2, q=2/3

c)

a1=3, q=1/2

d)

a1=9/2, q=1/3

e)

a1=5, q=1/5

71.

Три различных числа, образующие геометрическую прогрессию, являются длинами сторон некоторого треугольника. Докажите, что знаменатель этой прогрессии удовлетворяет неравенству: (√5 − 1)/2 < q < (√5 + 1)/2.

a)

Верно для любых q>0

b)

Верно при q≈1.618

c)

Верно только при q>1

d)

Верно в указанных пределах

e)

Верно при 0

72.

Числа a, b, c являются соответственно пятнадцатым, девяностым и сотым членами арифметической прогрессии. Они же не являются четвёртым, шестым и k-м членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите k.

a)

8

b)

12

c)

11

d)

9

e)

10

73.

Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых относятся как 1:4. В каком отношении эта высота делит гипотенузу?

a)

1:4

b)

1:2

c)

1:3

d)

2:5

e)

2:3

74.

Длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию. В каком отношении делит наибольшую сторону биссектриса противоположного угла, если она делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 1:2?

a)

1:2

b)

1:1

c)

√2:1

d)

1:√2

e)

2:1

75.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны и основание образуют геометрическую прогрессию. Найдите косинус угла при вершине.

a)

1/2

b)

−1/3

c)

1/3

d)

−1/2

e)

0

76.

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:4, а сумма их площадей равна 100. Найдите площадь каждого многоугольника.

a)

36 и 64

b)

45 и 55

c)

48 и 52

d)

25 и 75

e)

30 и 70

77.

Найдите четыре числа, первые три из которых образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 28, а сумма средних равна 20.

a)

4, 8, 12, 16

b)

6, 9, 12, 15

c)

5, 10, 15, 20

d)

3, 6, 9, 12

e)

7, 9, 11, 13

78.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27, 1, то получится арифметическая прогрессия. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии.

a)

81

b)

64

c)

100

d)

90

e)

72

79.

Подобные треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что стороны одного на 40% больше соответствующих сторон другого. Во сколько раз площадь большего треугольника больше площади меньшего?

a)

2.4 раза

b)

1.96 раза

c)

1.8 раза

d)

1.4 раза

80.

Три числа образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 30. Если к первому прибавить 5, ко второму 4, а третье оставить без изменения, полученные числа составляют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

a)

7, 10, 13

b)

6, 10, 14

c)

8, 10, 12

d)

5, 10, 15

81.

Медианы треугольника относятся как 3:4:5. Найдите отношение площадей треугольников, на которые медианы делят исходный треугольник.

a)

Равные части

b)

3:4:5

c)

2:2:2

d)

1:1:1

82.

В треугольнике длины высот обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены. Какой это треугольник?

a)

Равнобедренный

b)

Прямоугольный

c)

Равносторонний

d)

Произвольный

83.

Если в треугольнике длины медиан образуют геометрическую прогрессию, то какие отношения имеют длины сторон?

a)

Стороны равны

b)

Стороны образуют ГП

c)

Отношений не существует

d)

Стороны образуют АП

84.

В треугольниках ABC и A1B1C1 углы такие: ∠A = 40°, ∠B = 80°, ∠A1 = 40°, ∠C1 = 60°. Подобны ли треугольники?

a)

Да, по двум углам

b)

Да, по трем углам

c)

Нет, углы не совпадают

d)

Нет, нужны стороны

85.

В треугольниках ABC и DEF известно, что AB/DE = BC/EF = 1.5, ∠B = ∠E. Чему равно отношение AC/DF?

a)

1.8

b)

1

c)

1.5

d)

1.2

86.

Площади двух подобных треугольников равны 75 см² и 300 см². Одна из сторон первого равна 10 см. Чему равна соответствующая сторона второго?

a)

20 см

b)

15 см

c)

30 см

d)

40 см

87.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно 9:16. Найдите отношение их средних линий.

a)

1:2

b)

√9:√16

c)

9:16

d)

3:4

88.

Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию, площадь которой равна 21 см². Чему равна площадь исходного треугольника?

a)

28 см²

b)

56 см²

c)

84 см²

d)

42 см²

89.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки K и M так, что KM ∥ AC. Найдите AC, если BK:KA = 3:2 и KM = 12.

a)

20

b)

30

c)

18

d)

24

90.

Два треугольника подобны с коэффициентом подобия k = 2/3. Сумма их периметров равна 50 см. Чему равен периметр большего треугольника?

a)

35 см

b)

20 см

c)

30 см

d)

32 см

91.

Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона — 15 см. Через середину боковой стороны проведена прямая, параллельная основанию. Чему равна длина отрезка этой прямой, заключенного внутри треугольника?

a)

18

b)

9

c)

12

d)

15

92.

Подобны ли любые два равносторонних треугольника?

a)

Только если площади у них совпадают

b)

Только если периметры у них одинаковые

c)

Да, так как все углы равны и стороны пропорциональны

d)

Нет, потому что стороны могут быть разной длины

93.

Подобны ли любые два равнобедренных треугольника с углом при вершине 60°?

a)

Только при равных высотах к основаниям

b)

Только при равных основаниях треугольников

c)

Нет, нужны равные боковые стороны

d)

Да, по двум углам, так как углы равны

94.

Коэффициент подобия треугольников равен 3. Во сколько раз высота большего треугольника больше соответствующей высоты меньшего?

a)

В 9 раз, как квадрат коэффициента

b)

В 6 раз, потому что площадь растёт

c)

В 3 раза, как и все линейные элементы

d)

В 1 раз, высоты не изменяются

95.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 9 см и 16 см. Найдите эту высоту.

a)

13 см, как по теореме Пифагора

b)

10 см, как среднее арифметическое

c)

12 см, как среднее геометрическое

d)

15 см, как сумма отрезков деления

96.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см и делит её в отношении 9:16. Найдите гипотенузу треугольника.

a)

30 см, по средней линии

b)

15 см, по пропорции катетов

c)

20 см, по свойству медианы

d)

25 см, как сумма отрезков деления

97.

Катет прямоугольного треугольника равен 30 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 10 см. Найдите гипотенузу.

a)

30 см, по равенству катетов

b)

40 см, по теореме косинусов

c)

50 см, по теореме синусов

d)

45 см, из подобия треугольников

98.

В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 4 и 9. Найдите меньший катет.

a)

7, по разности проекций на гипотенузу

b)

5, по равенству катетов и проекций

c)

8, как сумма проекций катетов

d)

6, по произведению гипотенузы и проекции

99.

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотензу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите катеты треугольника.

a)

12 и 16, из подобия и Пифагора

b)

9 и 12, из соотношений медианы

c)

20 и 15, как проекции катетов

d)

25 и 15, из равенства проекций

100.

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.

a)

2 см, как (a+b−c)/2

b)

3 см, как полусумма катетов

c)

5 см, как среднее геометрическое

d)

4 см, как полупериметр треугольника

101.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 6. Один из острых углов равен 30°. Найдите гипотенузу.

a)

12, по формуле h = ab/c

b)

18, из соотношений проекций

c)

6, так как высота равна катету

d)

9, как среднее арифметическое

102.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD. Докажите подобие треугольников ADC и CDB.

a)

Их площади равны по высоте

b)

У них равны все стороны попарно

c)

Они имеют общий угол C и прямые углы

d)

Их периметры равны по проекциям

103.

Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 3:4, а гипотенуза равна 50 см. Найдите отрезки гипотенузы, на которые её делит высота.

a)

25 и 25, по равным катетам

b)

30 и 20, по пропорции катетов

c)

12 и 38, по сумме и разности

d)

18 и 32, по подобию высот

104.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC (BC < AD) через вершину B проведена прямая, параллельная стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке M. Найдите AM, если AD = 20 см, BC = 8 см.

a)

8 см, по равным сегментам

b)

10 см, по биссектрисе угла

c)

16 см, по средней линии

d)

12 см, по свойству параллельных

105.

Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три отрезка. Два крайних отрезка равны 3 и 6. Найдите основания трапеции.

a)

8 и 10, по свойству биссектрисы

b)

9 и 15, по пропорциям подобия

c)

6 и 12, по равным отрезкам

d)

7 и 14, по равенству диагоналей

106.

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Найдите EF, если AE = 18.

a)

3, по равенству медиан

b)

9, как половина отрезка AE

c)

6, так как F делит AE в отношении 2:1

d)

12, по свойству диагоналей

107.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOD равна 32, площадь треугольника BOC равна 8. Найдите отношение оснований AD:BC.

a)

3:1, по равенству высот

b)

4:1, по пропорциональности площадей

c)

1:4, по теореме Фалеса

d)

2:1, по средней линии

108.

Периметры двух подобных параллелограммов относятся как 2:5. Найдите отношение их площадей.

a)

4:25, как квадраты коэффициента

b)

2:5, как линейные элементы

c)

5:2, как обратная пропорция

d)

1:1, площади не меняются

109.

Длины сторон одного прямоугольника 6 см и 15 см. Длины сторон другого прямоугольника 8 см и 20 см. Подобны ли эти прямоугольники?

a)

Нет, периметры у них различны

b)

Нет, пропорции сторон разные

c)

Да, стороны пропорциональны 2:5 и 2:5

d)

Да, у прямоугольников все углы равны

110.

В ромбе ABCD сторона равна 10 см, острый угол равен 60°. Через вершину B проведена прямая, пересекающая диагональ AC в точке M, а сторону AD — в точке N так, что BM:MN = 1:3. Найдите AM, используя подобие треугольников.

a)

10 см, по пропорции отрезков

b)

7,5 см, по свойству биссектрисы

c)

6 см, по равенству диагоналей

d)

5 см, по делению медианой

111.

Основания трапеции равны 7 и 11. Найдите длину отрезка, соединяющего середины её диагоналей.

a)

2, равную полуразности оснований

b)

7, равную большой стороне

c)

9, равную их полусумме

d)

4, равную разности диагоналей

112.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Даны отношения AO:OC = 2:3 и DO:OB = 1:4. Прямая через A, параллельная BC, пересекает AB в точке M. Чему равно отношение AM:MB?

a)

2:3

b)

3:2

c)

5:2

d)

2:5

113.

Дан отрезок длиной a. Как, используя свойства прямоугольного треугольника с углом 60°, построить отрезок длиной a/√3?

a)

Построить прямоугольный треугольник с углом 60° при катете a

b)

Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой a

c)

Построить прямоугольный треугольник с катетом a

d)

Построить равносторонний треугольник на стороне a

114.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные...

a)

прилежащим сторонам

b)

радиусам вписанной окружности

c)

прилагающимся высотам

d)

углам при вершинах

115.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Как доказать это с помощью подобия?

a)

Через равнобедренные треугольники в основании

b)

Через подобие треугольников, образованных средней линией

c)

Через равенство площадей смежных треугольников

d)

Через свойства вписанной окружности

116.

Теорема Фалеса утверждает пропорциональность...

a)

углов при пересечении хорд

b)

отрезков, параллельно отсечённых на сторонах

c)

медиан и биссектрис

d)

диагоналей выпуклого четырёхугольника

117.

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и AC так, что MN ∥ BC. Площадь четырёхугольника MBCN равна 60, а площадь треугольника AMN равна 15. Чему равно отношение AM:AB?

a)

1:4

b)

2:3

c)

1:3

d)

1:2

118.

В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Какой вывод о треугольниках A1B1C и ABC верен?

a)

Они не связаны подобием

b)

Они подобны по двум углам

c)

Они равны по двум катетам

d)

Они равновелики по площадям

119.

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно так, что AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O и AO:OA1 = BO:OB1 = CO:OC1 = 2:1. Кем являются точки A1, B1, C1 для треугольника ABC?

a)

Точки золотого сечения

b)

Середины сторон треугольника

c)

Основания высот треугольника

d)

Произвольные точки деления

120.

Два круга подобны. Площадь одного на 36π см² больше площади другого, а радиус большего на 2 см больше радиуса меньшего. Найдите радиусы кругов.

a)

2 см и 4 см

b)

4 см и 6 см

c)

5 см и 7 см

d)

3 см и 5 см

121.

В треугольнике со сторонами 13, 14, 15 через вершину, прилежащую к стороне 15, проведена прямая, параллельная большей стороне, отсекая подобный треугольник. Какой периметр отсечённого треугольника, если он подобен исходному с коэффициентом 1/2?

a)

21

b)

21/2

c)

42

d)

14

122.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC), основание AC = 12, боковая сторона = 10. Биссектриса угла B пересекает AC в точке D. Какова длина BD?

a)

√29

b)

8

c)

√21

d)

6√3

123.

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D так, что AD = 1, DC = 4, и ∠ABD = ∠ACB. Чему равна длина стороны AB?

a)

2

b)

2√5

c)

3

d)

√5

124.

Точка M — середина стороны AB квадрата ABCD. Отрезки DM и AC пересекаются в точке K. Найдите отношение AK:KC.

a)

1:2

b)

1:1

c)

3:1

d)

2:1

125.

В прямоугольном треугольнике ABC с ∠B = 90°, AB = 6, BC = 8. На гипотенузе AC взята точка M так, что AM:MC = 1:3. Найдите расстояние от M до прямой AB.

a)

4

b)

2

c)

3

d)

5