อนุพันธ์ตามนิยาม แผ่นงานสำหรับ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์มาตรฐานของสหรัฐอเมริกา อนุพันธ์ตามคำนิยามเป็นหัวข้อในวิชาแคลคูลัส ซึ่งโดยทั่วไปจะเรียนในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หรือ 5 นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่เรียนเรื่องนี้มักอยู่ในหลักสูตรเร่งรัด ซึ่งมักเป็นหลักสูตรเตรียมแคลคูลัสหรือแคลคูลัสเบื้องต้นแบบย่อ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ควรทราบเพื่อการวางแผนการสอน: นักเรียนเหล่านี้อาจมีทักษะพีชคณิตที่ดีจากพีชคณิต 2 แต่สัญลักษณ์ลิมิตยังคงเป็นเรื่องใหม่ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับพื้นฐานทางแนวคิดอย่างชัดเจนก่อนที่จะเริ่มฝึกฝนขั้นตอนการคำนวณ

นักเรียนชั้น ม.4 ในหลักสูตรเร่งรัดมักมีความรู้ทางพีชคณิตเพียงพอที่จะจัดการกับผลหารส่วนต่างได้ แต่แนวคิดเรื่องลิมิตนั้นจำเป็นต้องมีการอธิบายอย่างละเอียด เริ่มต้นด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ซึ่งพวกเขาเคยเห็นมาแล้ว และปรับเปลี่ยนให้เป็น (f(x+h) - f(x))/h จากนั้นถามว่า: นิพจน์นี้จะเข้าใกล้ค่าใดเมื่อ h มีค่าน้อยลงเรื่อยๆ? คำถามนั้น เมื่อทำการคำนวณเชิงตัวเลขก่อน จะทำให้ได้นิยามที่เป็นทางการที่มีจุดยึด เมื่อเข้าใจแนวคิดแล้ว ขั้นตอนการคำนวณ (ขยาย ลดรูป ตัด h ออก หาค่าลิมิต) จะเป็นไปตามรูปแบบที่สม่ำเสมอ ซึ่งนักเรียนสามารถจดจำได้ด้วยการฝึกฝนอย่างเพียงพอ

จัดลำดับประเภทของฟังก์ชันอย่างรอบคอบ: เริ่มจากฟังก์ชันเชิงเส้นก่อน (พีชคณิตไม่ซับซ้อน นักเรียนจึงสามารถมุ่งเน้นไปที่การตั้งค่าลิมิตได้) จากนั้นเป็นฟังก์ชันกำลังสอง (แนะนำการกระจายทวินาม) และสุดท้ายคือฟังก์ชันตรรกยะอย่างง่าย (ต้องใช้การจัดการทางพีชคณิตเพื่อตัด h ออก) ฟังก์ชันแต่ละประเภทจะแยกทักษะทางพีชคณิตที่แตกต่างกัน ทำให้นักเรียนสร้างความสามารถทีละน้อย แทนที่จะเรียนรู้ทุกอย่างพร้อมกัน แบบฝึกหัดเหล่านี้มีโครงสร้างที่สอดคล้องกับลำดับขั้นนั้น

มีข้อผิดพลาดหลักสองประการ ประการแรก นักเรียนกระจาย (x+h)² เป็น x² + h² โดยตัดพจน์ 2xh ออกไป ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดในการกระจายทวินามที่มองข้ามได้ง่าย เพราะการคำนวณส่วนที่เหลือยังคงถูกต้อง ประการที่สอง พวกเขาแทนค่า h = 0 ก่อนที่จะตัด h ออกจากตัวส่วน ทำให้ได้ 0/0 และสรุปว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง ข้อผิดพลาดทั้งสองนี้ควรได้รับการแก้ไขด้วยตัวอย่างที่แสดงข้อผิดพลาดแต่ละข้อโดยเจตนาและแสดงให้เห็นว่าทำไมจึงผิดพลาด

แบบฝึกหัดทุกชุดมีเฉลยคำตอบครบถ้วน ทำให้ใช้งานได้จริงสำหรับการทำการบ้านหรือฝึกฝนด้วยตนเอง สำหรับการใช้งานในชั้นเรียน การพิมพ์ไฟล์ PDF จะเหมาะสมเมื่อคุณต้องการให้นักเรียนทำโจทย์พีชคณิตหลายขั้นตอนโดยปราศจากสิ่งรบกวนจากอุปกรณ์ดิจิทัล กระดาษช่วยให้พวกเขาสามารถแสดงวิธีทำทั้งหมดได้ที่ขอบกระดาษโดยไม่ต้องเลื่อนดูหน้าจอ จากนั้นคุณสามารถใช้แอป Wayground for Teachers เพื่อสแกนและตรวจงาน หรืออีกทางเลือกหนึ่ง คุณสามารถนำแบบฝึกหัดไปใช้เป็นแบบทดสอบดิจิทัลบน Wayground เพื่อส่งงานและดูผลลัพธ์ได้ทันที

นิยามของลิมิตเป็นจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และกรอบหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายของ Common Core ถือว่าความเข้าใจเชิงแนวคิดเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นพื้นฐานก่อนที่นักเรียนจะนำกฎของอนุพันธ์ไปใช้ ลำดับขั้นจะเริ่มจากอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ความชันของเส้นตัด) ไปจนถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที (ความชันของเส้นสัมผัส) ผ่านกระบวนการของลิมิต และการเปลี่ยนแปลงเชิงแนวคิดนี้เองที่นิยามได้ทำให้เป็นรูปธรรม นักเรียนที่ข้ามขั้นตอนนี้และไปใช้กฎของกำลังโดยตรงมักจะประสบปัญหาในภายหลังเมื่อเจอกับฟังก์ชันที่ไม่ตรงกับรูปแบบกฎมาตรฐาน เพราะพวกเขาไม่มีแบบจำลองพื้นฐานให้ใช้เป็นเหตุผล