Solving Logs

Solving Using Logs

Finding x based on Log Form > Index Form.

Eg: 1                                                       Eg: 2 

 $Log\ _{2\ }128\ =\ x$                                $Log\ _2\ 2^5\ =\ x$           
 $2^x\ =\ 128\$                                                     $2^x\ =2^5$  
(convert 128 to base 2)                            Bases are same     
 $2^x\ =\ 2^7$                                                        $\therefore x=5$   
Bases are same 
 $\therefore x\ =\ 7$  

 In these examples, the bases needed to be the same in order to determine x. In the following examples, the powers needed to be equal/ the same in order to determine x.

 

 Eg:1                                                                                    Eg:2
  $Log\ _{\left(2x-1\right)\ }64\ \ =3$                                                  $Log_{3x}\ 49\ =\ 2$   

 $\left(2x-1\right)^3\ =\ 64$                                                                 $3x^2\ =\ 49$  
change 64 to a number with the power of 3    ||  Change 49 to a base  
 $\left(2x-1\right)^3\ =\ 4^3$                                               ||  with the power of 2 
powers are equal                                                          $3x^2\ =\ 7^2$  
 $\therefore2x\ -1\ =\ 4$                                                   powers are same 
 $2x\ =\ 4\ +\ 1$                                                             $\therefore3x=7$  
 $2x\ =\ 5$                                                                             $x=\frac{7}{3}$  
 $x\ =\frac{5}{2}$  

Simplifying Log Equations

Eg: 1                                                 Eg: 2
 $Log\ _a\ 28\ -\ Log_a\ 4\$             $2\ Log_a\ 5-3\ Log_a\ 2$  
 $=Log_a\ \frac{28}{4}$                           $=Log_a\ 5^2\ -\ Log_a\ 2^3$  

 $=Log_a\ 7$                              $=Log_a\ 25\ -Log\ _a\ 8$               

                                                $=Log_a\ \frac{25}{8}$  

More egs

Eg: 3                                                                                         Eg: 4
 $Log_{10}\ \frac{4}{35}\ +Log_{10\ }70\ +2\ Log_{10}\ 5$            $Log_{10}\ 200\ -\ Log_{10\ }2$  

 $=Log_{10}\ \frac{4}{35}\ \times70\ +\ 2\ \log_{10}\ 5$                  $=\log_{10}\frac{200}{2}$  

 $=Log_{10}8\ +\ Log_{10}\ 5^2$                                  $=Log_{10}\ 100$   

 $=Log_{10}\ 8\times\left(25\right)$                                           $=Log_{10}\ 10^2$  
 $=Log_{10}\ 200$                                                    $=2\ Log_{10}\ 10$  
                                                                            $=2\left(1\right)$  
                                                                            $=2$  

Expressing log expressions using letters.

If Log 3 = P, Log 5 = Q and Log 10 = R, Express the following in terms of P,Q,R.
Eg: 1                                                 Eg: 2

 $Log\ 2$                                         $Log\ 150$  
 $=Log\frac{10}{5}$                                  $=Log\ 3\left(5\right)\left(10\right)$  
 $=Log\ 10\ -\ Log\ 5$                $=Log\ 3\ +\ Log\ 5\ +\ Log\ 10$  
 $=R\ -Q$                                  $=P\ +\ Q+R$  

Log 3 = P , Log 5 = Q , Log 10 = R

Eg: 3

 $Log\ \frac{1}{6}$  
 $=Log\ \frac{5}{30}$  
 $=Log5\ -\ Log\ 30$  
 $=Log\ 5\ -\ Log\ 10\ +\ Log\ 3$  
 $=Q\ -\ R\ +\ P$  

If Log 2 = 0.3, Log 3 = 0.48, Calculate the value of : 1. 0.375 2. Log 6

 $0.375\ \rightarrow\ \frac{3}{8}$  
1.  $=Log\ \frac{3}{8}$                            2.  $Log\ 6$  
 $=Log\ 3\ -\ Log\ 8$            $=Log\ 2\ +\ Log\ 3$                               
 $=Log\ 3\ -\ Log\ 2^3$         $=0.3+0.48$    
 $=\ Log\ 3\ -\ 3\ Log\ 2$      $=0.78$  
 $=0.48\ -\ 3\ \left(0.3\right)$     
 $=-0.42$  

Solving Logarithmic Equations(Finding x)

Eg: 1

Log (x - 1) + Log (x - 4) = Log (2x - 6)

Log (x - 1) (x -4) = Log (2x - 6)

There is one Log expression = Another Log expression, Therefore the Logs can be "dropped "

(x - 1) (x - 4) = 2x - 6

x² - 4x - x + 4 = 2x - 6

x² - 5x - 2x + 4 + 6 = 0

x² - 7x + 10 = 0 (factorize)

(x -5) (x -2) = 0

x = 5 or x = 2

Eg :2

 $Log\ 18\ +\ Log\ \left(\frac{1}{3x}\right)\ -\ Log\ \left(x\ +1\right)=0$   $Log\ 18\ \times\left(\frac{1}{3x}\right)\ -\ Log\ \left(x+1\right)=0$  

 $Log\ \frac{18}{3x}\ -\ Log\ \left(x+1\right)=0$    |  $3x^2+3x=18$  (Cross multiplied))

 $Log\ \frac{18}{3x}\div\frac{x+1}{1}=0$                  |  $3x^2+3x-18\ =0$  

 $Log\ \frac{18}{3x^2+\ 3x}\ =\ Log_{10}\ 1$        | $\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0$  (factorized)

(Drop Logs) $\frac{18}{3x^2+3x}=1$           | $x=2\ or\ x=-3\$  

eg:3

 $2\ Log\ 5-Log\ \left(x+2\right)=1-Log\ \left(2x-1\right)$   $Log\ 5^2\ -Log\left(x+2\right)=1-Log\left(2x-1\right)$   $Log\ 25\ -\ Log\ \left(x+2\right)\ =\ 1-Log\ \left(2x-1\right)$   $Log\ \frac{25}{x+2}\ =1-Log\left(2x-1\right)$  
 $Log\ \frac{25}{x+2}=Log_{10}10\ -\ Log\ \left(2x-1\right)$  
 $Log\ \frac{25}{x+2}=Log\ \frac{10}{2x-1}$  
 $\frac{25}{x+2}=\frac{10}{2x-1}$  (logs dropped)
 $10\ \left(x+2\right)=25\left(2x-1\right)$  (cross multiplied) 
10x +20 = 50x-25 => 20+25 = 50x - 10x => 45=40x => x=45/40 => x = 9/8

 $a^x\ =b$  

Using Logs to solve equations/Find x

 $3^{5x}\ =\ 17$  
 $Log\ 3^{5x}=Log17$   (take logs )
 $5x\ Log\ 3\ =\ Log\ 17$  
 $5x=\frac{Log\ 17\ }{Log\ 3}$  (use calculator, round to 2d.p)
 $5x\ =\ 2.58$  
 $\therefore x=\frac{2.58}{5}$  
  $x=0.52$  

Eg: 2

 $3^{x+1}=11$  
 $Log\ 3^{x+1}=Log\ 11$  (Take Logs)
 $\left(x+1\right)Log\ 3=\ Log\ 11$  
 $x+1=\frac{Log\ 11}{Log\ 3}$  
 $x+1=2.18$  
 $x=2.18-1\$  
 $x=1.18$  

Eg: 3

 $4^{3x-1}=5^{x+2}$  
 $Log\ 4\ ^{3x-1}=Log\ 5^{x+2}$  
 $\left(3x-1\right)Log\ 4=\left(x+2\right)Log\ 5$  
 $\frac{3x-1}{x+2}=\frac{Log\ 5}{Log\ 4}$  
 $\frac{3x-1}{x+2}=1.161$  
 $1.161\left(x+2\right)=3x-1$  (cross multiplied)
 $1.161x\ +2.322=3x-1$  
 $2.322+1=3x-1.161x$  
 $3.322=1.839x$  
 $x=1.80$