Problemas de m.c.d. y m.c.m.

Problemas de m.c.d. y m.c.m.

El m.c.d. y el m.c.m. nos permiten resolver problemas. Pero tendremos que analizar bien cada problema para saber si tenemos que usar m.c.d. o m.c.m.

Vamos a ver unos ejemplos y a darnos cuenta de que una vez que ves unos cuántos, es muy fácil identificarlos.

PROBLEMAS "DE COINCIDIR": m.c.m.

En una calle se están instalando dos semáforos: uno de ellos se pondrá en verde cada 3 minutos y el otro, cada 5 minutos. Una vez se conectan los semáforos, ¿cuánto tiempo tardarán en ponerse en verde al mismo tiempo por primera vez?

El primer semáforo se pone en verde en el minuto 3, en el 6, en el 9, en el 12, en el 15, en el 18, en el 21... en todos los múltiplos de 3.

El segundo semáforo lo hace en el minuto 5, en el 10, en el 15, en el 20... son los múltiplos de 5.

El minuto en el que ambos semáforos se encienden al mismo tiempo por primera vez tiene que ser el primer (más pequeño, menor) múltiplo que sea común a 3 , o sea, el mínimo común múltiplo de 3 y 5.

La solución del problema es

m.c.m. (3, 5) = 15

Cada 15 minutos se pondrán en verde a la vez.

Estoy practicando al béisbol con dos lanzadoras de bolas y mi hermano está anotando los resultados. Como de momento no he fallado ningún tiro, mi hermano programa las lanzadoras para que una dispare cada 12 segundos y la otra, cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas en lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez?

Una de las máquinas dispara en los múltiplos de 12 y la otra en los múltiplos de 16. La primera vez que coinciden es en el mcm de 12 y 16.

12 =2².3

16 = 2⁴

m.c.m. (12, 16) = 2⁴.3 = 48

Como el mínimo común múltiplo de 12 y 16 es 48, las máquinas lanzarán una bola al mismo tiempo a los 48 segundos desde su programación.

Mi coche necesita un cambio de aceite cada 40.000 km y de neumáticos cada 90.000 km. ¿En cuántos kilómetros coincidirá por primera vez el cambio de aceite y de neumáticos?

Los cambios de aceite se realizan en los múltiplos de 40.000km y los de neumático, en los múltiplos de 90.000km. La primera vez que los cambios coinciden es el mcm.

Y así en todos los problemas en los que haya que calcular cuándo algunas cosas que pasan coinciden en el tiempo.

PROBLEMAS DE REPARTIR, DIVIDIR, PARCELAR...: m.c.d.

En la tienda de mi prima hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 plátanos. Quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que:

todas las cajas tengan el mismo número de frutas, cada caja sólo puede tener plátanos o naranjas y las cajas deben ser lo más grande posible.

¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

Para poder repartir las 12 naranjas en cajas más pequeñas con el mismo número de naranjas, tenemos que elegir un número que sea divisor de 12.

Razonando del mismo modo, el número de plátano en cada caja tiene que ser divisor de 18.

Como la capacidad de todas las cajas tiene que ser la misma, tenemos que elegir entre los divisores de 12 que también lo sean de 18 (divisor COMÚN ).

Además, tenemos que elegir el divisor común que sea MAYOR (MÁXIMO) para que las cajas sean lo más grandes posible.

Por tanto, para saber cuántas frutas tiene que tener cada caja debemos calcular el máximo común divisor de 12 y 18.

12 = 2² . 3

18 = 2 . 3²

^{m.c.d. (12, 18) = 2 . 3 = 6}

^{Por lo tanto las cajas deben tener 6 frutas cada una.}

Quiero coser una colcha collage con retales de tela cuadrados del mayor tamaño posible. Si la colcha tiene que medir 180 cm de alto y 100 cm de ancho, ¿cuánto deben medir los retales? ¿Cuántos retales tengo que recortar para coser la colcha?

La colcha es como una cuadrícula. El lado de los retales debe ser un divisor del alto y del ancho de la colcha. Además, debe ser lo más largo posible.

Por tanto, el lado de los cuadrados debe ser el máximo común divisor de 180 cm y 100 cm

100 = 2².5²

180 = 2².3².5

m.c.d. (100, 180) = 2².5 = 20 cm de lado tendrá cada cuadrado

A lo alto hay 180/20 = 9 retales.

A lo ancho hay 100/20 = 5 retales.

Ana tiene que recortar 9·5 = 45 retales cuadrados.

Queremos cortar dos listones de madera en partes iguales para enrollarlos en plástico y guardarlos. Pero queremos cortarlos en trozos lo más largos posible para no desaprovecharlos. Si los listones miden 246 cm y 328 cm, ¿cuánto deben medir los trozos?

La longitud de los trozos debe dividir las longitudes de los dos listones, o sea, ser divisor de 246 y también de 328 (DIVISOR COMÚN) y, además, ser lo MÁS GRANDE posible.

Por lo tanto, la longitud de los trozos debe ser el máximo común divisor de 246 y 328.

Me han regalado 15 rosas rojas y 21 gardenias y quiero colocarlas en el máximo número de floreros posibles en varias habitaciones de mi casa de modo que cada florero tenga el mismo número de rosas y el mismo número de gardenias. ¿Cuántos floreros necesito? ¿Cuántas flores de cada tipo debo poner en cada florero?

El número de floreros tiene que ser el mayor que divida al número total de rosas y también al número total de gardenias, por lo que tenemos que calcular el m.c.d.(15 y 21)

15 = 3 . 5

21 = 3 . 7

m.c.d. (15, 21) = 3

Necesito 3 floreros.

El número de rosas en cada florero es 15/3 = 5 y el de gardenias es 21/3 = 7.

Podríamos seguir poniendo ejemplos, pero todos se parecerían a alguno de los anteriores, solo tienes que leer con atención y pensar a cuál.

HORA DE PRACTICAR

Multiple Choice

Pablo está dibujando los planos de un proyecto de mecánica sobre una hoja cuadriculada de dimensiones 56 cm x 104 cm. ¿Cuál debe ser el máximo tamaño de los cuadrados?

• 56 cm

• 8 cm

• 13 cm

• 91 cm

Multiple Choice

Carlos tiene dos listones uno que mide 40 cm y otro de 100 cm. ¿Puede cortarlos en tramos de 10 cm sin que sobre listón? ¿Cuántos tramos obtendrá de cada listón?

• Sí, en 4 y 10

• Sí, en 40 y 10

• No, en 5 y 10

• Sí, en 40 y 10

Multiple Choice

En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck pasa cada 14 días. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día.

Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién está en lo cierto?

• Raúl está en lo cierto

• Óscar está en lo cierto

• Ninguno de los dos está en lo cierto

Multiple Choice

Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuánto debe medir cada trozo de cuerda?

• 24

• 12

• 25

• 28

Multiple Choice

David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona?

• 2 dulces

• 4 dulces

• 6 dulces

• 12 dulces

Multiple Choice

Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

• 380 días

• 360 días

• 350 días

• 240 días