Indices

Indices

Laws of Indices

1. Product :  $a^m\times a^n=a^{m+n}$        E.g :  $3^2\times3^4=3^{6\ }=729$  
2. Division :  $a^m\div a^n=a^{m-n}$        E.g:  $3^4\div3^2=3^2=9$  
3. Power raised to another :  $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$   E.g :  $\left(a^2\right)^3=3^6$  
4. Negative power :  $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$       E.g:  $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$  
5. Fractional power:  $a^{\frac{n}{m}}=^m\sqrt{a^n}$    E.g:  $16^{\frac{4}{2}}=^2\sqrt{16^4}=256$  
6. Zero Power:  $a^0=1\$                       E.g:  $7^0=1$  
7. Fraction with a negative power:  $\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}=\left(\frac{b}{a}\right)^m$                                                                                E.g:  $\left(\frac{1}{8}\right)^{-2}=\left(\frac{8}{1}\right)^2=64$  

Solving Exponential Equations

TYPE 1
Eg:1   $4^{x\ }=0.5$      Eg:2  $2^{x^2+x}=4$              Eg:3  $7^{x^2-4}-1=0$  

 $4^x=\frac{1}{2}$                     $2^{x^2+x}=2^2$                         $7^{x^2-4}=7^0\left(l6\right)$  
 $4^x=2^{-1\ }\left(l4\right)$          same base                          same base
 $\left(2^2\right)^x=2^{-1}$            $\therefore x^2+x=2$                 $\therefore x^2-4=0$  
 $2^{2x}=2^{-1}$                 $x^2+x-2=0$                          $x^2=4$             
same base                     (factorize)                                  $x=\sqrt{4}$  
 $\therefore2x=-1$              $\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$                    $x=2\ \ \ x=-2$   
 $x=-\frac{1}{2}$                $x=-2\ \ \ x=1$  
NB: Before solving for x the same base has to be obtained. 

Equations reducible to quadratic form.

TYPE 2                                      Eg:1 Solve:  $3^{2x}-12\left(3^x\right)+27=0$  
Note (l3):                                          $\left(3^x\right)^2-12\left(3^x\right)+27=0$                      
 $5^{2x}=\left(5^2\right)^x\ \&\ \left(5^x\right)^2$                     Let   $3^x=y$                                                                                       $y^2-12y+27=0$ (fact.)                                                                       $\left(y-9\right)\left(y-3\right)=0\ \therefore y=9\ or\ 3$                                                               $When\ y\ =9\ \ \ \ \ \ \$        $When\ y\ =3$                                                                    $3^x=9$                            $3^x=3$                                                                   $3^x=3^2$                          $3^x=3^1$                                                $same\ base$     $\therefore x=2$                $\therefore x=1$                                                                                          
 $\$ 

Type 3

Eg:1  $9^{x+1}+1=10\left(3^x\right)$                     $when\ y=1$        $when\ y\ =\frac{1}{9}$  

 $9^x\left(9^1\right)+1=10\left(3^x\right)\ \left(l1\right)$                  $3^x=1$         $3^x=\frac{1}{9}$  
 $9\left(9^x\right)+1=10\left(3^x\right)$                             $3^x=3^0$       $3^x=\frac{1}{3^2}$  
 $9\left(3^x\right)^2+1=10\left(3^x\right)$                              $\therefore=0$        $3^x=3^{-2}$  
 $9\left(3^x\right)^2-10\left(3^x\right)+1=0$                                      $\therefore x=-2$  
 $Let\ y\ =3^x$  
 $9y^2-10y+1=0$  (fact.)
 $\left(y-1\right)\left(y-\frac{1}{9}\right)$  
 $y=1\ \ y=\frac{1}{9}$  

Negative variable power

TYPE 4
Eg:1  $3^x=4-3\left(3^{-x}\right)$                         $y=3$          $y=1$  

 $3^x=4-3\left(\frac{1}{3^x}\right)$                 $when\ y\ =3$      $when\ y\ =1$  
 $Let\ y\ =\ 3^x$                                     $3^x=3^1$        $3^x=1$  
 $y=4-3\left(\frac{1}{y}\right)$      $same\ base\therefore x=1$           $3^x=3^0$  
 $y=4-\left(\frac{3}{y}\right)$  ( $\times y$  )                         $same\ base\ \therefore x=0$  
 $y^2=4y-3$  
 $y^2-4y+3=0$  
 $\left(y-3\right)\left(y-1\right)$  =0

Using radicles (roots)

TYPE 5
Eg:1

 $x=\sqrt{x+2}$  
 $x^2=\left(\sqrt{x+2}\right)^2$  
 $x^2=x+2\ \ \left(squared\ both\ sides\right)$  
 $x^2-x-2=0$  (fact.)
 $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$  
 $x=2\ \ \ \ x=-1$  
NB: When a root sign is squared it results in the number or expression under the root.

Higher Power

TYPE 6                                                  $when\ y\ =\ 9\$     $when\ y\ =4$  
Eg:1  $x^4-13x^2+36=0$                        $x^2=9$                  $x^2=4$  

 $\left(x^2\right)^2-13x^2+36=0$                          $x=\sqrt{9}$              $x=\sqrt{4}$  
 $Lety=x^2$                                              $x=3,-3$          $x=2,-2$  
 $y^2-13y+36=0$  (fact.)
 $\left(y-9\right)\left(y-4\right)=0$  
 $y=9\ \ y=4$  

The equation started with x to the power of 4 therefore 4 answers was optained.