Integral: Luas Daerah

Integral | Luas Daerah

Halo semua. Selamat datang di aktivitas menghitung luas daerah menggunakan integral.

​

​

Tujuan aktivitas ini...

• Setelah aktivitas ini, kalian diharapkan memiliki keterampilan menghitung luas daerah yang sisinya adalah kurva.

• Sebelumnya, kita pelajari terlebih dahulu dari mana simbol integral yang dipelajari pertemuan yang lalu.

Integral sebagai Jumlahan Diferensial

Berikut simbol yang dipakai

Jumlahan diferensial 

Jumlahan diferensial 

Jumlahan diferensial 

Kita lanjutkan dengan latihan mencari luas bangun datar

Multiple Choice

Bila sisi persegi memiliki panjang 1 unit, berapakah luas segitiga pada gambar?

• 2 unit persegi

• 3 unit persegi

• 4 unit persegi

• 5 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

Multiple Choice

(Klik zoom) Berapakah luas bangun di samping?

• 16 unit persegi

• 24 unit persegi

• 28 unit persegi

• 32 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

• 28 unit persegi

• (sepertinya tidak perlu dijelaskan detail.)

• Kalian bisa hitung manual persegi-persegi yang ada di dalam bangun.

• Silakan lanjut.

Multiple Choice

(Klik zoom) Berapakah luas bangun di samping?

• 15 unit persegi

• 17 unit persegi

• 18 unit persegi

• 20 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

• 20 unit persegi

• Kalian mungkin masih bisa hitung manual persegi-persegi yang ada di dalam bangun dan menebak.

• Untuk menghitung luas pastinya, bisa menggunakan rumus trapesium, atau menghitung bagian segitiga dan persegi panjangnya.

Jawaban yang benar adalah...

Multiple Choice

(Klik zoom) Berapakah luas bangun di samping?

• 28 unit persegi

• 29 unit persegi

• 31 unit persegi

• 32 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

• 32 unit persegi.

• Pembahasan: Bangun ini perlu dipartisi , lalu dihitung bagian-bagiannya.

• Partisi bisa menjadi 2 trapesium, atau juga bisalebih kecil lagi, yaitu segitiga dan persegi panjang.

• Perhitungannya diserahkan kepada pembaca. Kita lanjutkan...

Multiple Choice

(Klik zoom) Berapakah luas bangun di samping?

• 15 unit persegi

• 12 unit persegi

• 10 unit persegi

• 8 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

Multiple Choice

(Klik zoom) Berapakah luas bangun di samping?

• 15 unit persegi

• 12 unit persegi

• 17 unit persegi

• 14 unit persegi

Jawaban yang benar adalah...

Multiple Choice

(Klik zoom) Hitunglah luas daerah yang dibatasi garis

$$f\left(x\right)=\frac{3}{5}x,\ 0\le x\le5$$  dan sumbu X.

• 15 unit persegi

• 14 unit persegi

• 7.5 unit persegi

• 7 unit persegi

Jawaban yang benar

Multiple Choice

(Klik zoom) Hitunglah luas daerah yang dibatasi garis

$$f\left(x\right)=2x+2,\ 1\le x\le5$$  dan sumbu X.

• 28 unit persegi

• 30 unit persegi

• 32 unit persegi

• 34 unit persegi

Jawaban yang benar

Multiple Choice

(Klik zoom) Hitunglah luas daerah yang dibatasi garis

$$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+10,\ 2\le x\le10$$  dan sumbu X.

• 58 unit persegi

• 56 unit persegi

• 54 unit persegi

• 52 unit persegi

Jawaban yang benar

Multiple Choice

(Klik zoom) Hitunglah luas daerah yang dibatasi garis

$$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+10,\ x\le10$$ ,  $$f_2\left(x\right)=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},\ x>10$$  dan sumbu X.

• 62 unit persegi

• 61 unit persegi

• 60 unit persegi

• 59 unit persegi

Jawaban yang benar

Multiple Choice

(Klik zoom) Hitunglah luas daerah yang dibatasi garis

$$f_1\left(x\right)=\frac{1}{4}x+6,\ x\le8$$ ,  $$f_2\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+12,\ x>8$$  dan sumbu X.

• 80 unit persegi

• 78 unit persegi

• 76 unit persegi

• 74 unit persegi

Jawaban yang benar

Latihan menghitung luas daerah bangun datar sampai di sini, sekarang kita akan lihat kaitannya dengan integral.

Integral: Jumlahan Riemann

Luas daerah

Luas daerah

Luas pendekatan

Luas pendekatan

Luas pendekatan

• Kita perlu membuat lebih banyak persegi panjang, agar selisihnya makin sedikit, sampai mendekati nol.

• video berikut akan memperlihatkannya. ​

Luas pendekatan

Silakan berkunjung ke aktivitas GeoGebra berikut untuk mengamati sendiri ​

https://www.geogebra.org/m/qdht76ut

Luas pendekatan

Luas pendekatan

Luas pendekatan

Luas pendekatan

Luas sebenarnya

Integral tentu

Catatan

Integral sangat diperlukan untuk menentukan luas daerah yang batas/tepiannya berbentuk kurva. Selain menghitung luas, integral juga diterapkan dalam banyak kasus, misal untuk menentukan total penderita suatu penyakit, bila diketahui kecepatan penyebaran penyakit dalam kurun waktu tertentu. Selain itu, integral berguna dalam statistika.

Contoh 1

Dalam banyak kasus, perhitungan integral bisa menghasilkan nilai negatif. Padahal kita tahu luas daerah selalu bernilai positif. Bagaimana itu terjadi? Ini terjadi ketika luas yang dicari merupakan daerah dari kurva yang letaknya di bawah sumbu X.

Untuk mendapatkan luas dengan nilai positif, kita perlu menentukan mana bagian positif (kurva di atas sumbu X), mana bagian negatif (kurva di bawah sumbu X).

Selanjutnya, kita hitung masing-masing bagian dan ​menjumlahkan nilai mutlaknya.

​

​

Contoh 2

Latihan soal

Multiple Choice

Luas daerah yang dibatasi oleh garis $$y=4x+6;\ sumbu\ x;\ x=2;\ dan\ x=3$$  adalah ...

• 8 satuan luas

• 12 satuan luas

• 14 satuan luas

• 16 satuan luas

Multiple Choice

Luas daerah yang dibatasi grafik f(x) = 3x-6 dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = 7 adalah ... satuan luas

• 3

• 7

• -6

• 36

• 15

Multiple Choice

Luas daerah berwarna kuning pada grafik dinyatakan oleh...

• $$\int_1^4\ \left(x^2-5x+4\right)\ dx$$  

• $$-\int_1^4\ \left(x^2-5x+4\right)\ dx$$  

• $$-\int_4^1\ \left(x^2-5x+4\right)\ dx$$  

Multiple Choice

Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi $$f\left(x\right)=x^2-x-6$$  dan sumbu-x dari x=-2 sampai x=3 dinyatakan oleh...

• $$\int_{-2}^3\left(x^2-x-6\right)dx=-\frac{125}{6}$$  

• $$\int_{-2}^3\left(x^2-x-6\right)dx=\frac{125}{6}$$  

• $$-\int_{-2}^3\left(x^2-x-6\right)dx=-\frac{125}{6}$$  

• $$\int_{-2}^3\left(x^2+x+6\right)dx=-\frac{125}{6}$$  

• $$\int_{-2}^3\left(-x^2+x+6\right)dx=\frac{125}{6}$$  

Multiple Choice

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva  $$y=x^2$$ , sumbu X pada interval $$1\le x\le2$$ adalah ... satuan luas.

• 2

• $$2\frac{1}{3}$$  

• $$2\frac{2}{3}$$  

• 3

• $$3\frac{1}{3}$$

Multiple Choice

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva

$$y\ =4x-x^2,$$   $$x=1\ ,\ x=3$$  , dan sumbu X .

• $$\frac{20}{3}$$  

• $$\frac{22}{3}$$  

• $$\frac{32}{3}$$  

• $$\frac{40}{3}$$  

• $$\frac{64}{4}$$  

Multiple Choice

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva  $$y=-x^2+3x+4$$

, garis x = -1, x= 1 dan sumbu-X adalah …. satuan luas.

• 16/3 

• 17/3 

• 19/3 

• 22/3 

Multiple Choice

Luas daerah tertutup yang dibatasi kurva $$y=3x^2–6x$$  

dengan sumbu-X adalah.... satuan luas

• 4

• 6

• 8

• 10

Demikian aktivitas hari ini. Silakan berlatih sendiri latihan-latihan soal di buku berpikir matematis melalui tautan:

https://berpikirmatematis.org/a/luas-daerah​