ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ_ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΓΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x_o∈A;

Απάντηση

Θα λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x_o∈A όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x∈A

(Σχ. 27α)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΛΙΚΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ

Η συνάρτηση f(x) = − x² + 1 (Σχ. 28α) παρουσιάζει μέγιστο στο x_ο =0, το f(0) = 1 , αφού f(x) ≤ f(0)  για κάθε  x ϵ R. 

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x_o∈A;

Απάντηση

Θα λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x_o∈A όταν f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x∈A (Σχ. 27β)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΛΙΚΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ

Η συνάρτηση f(x) = | x−1 | (Σχ. 28β) παρουσιάζει ελάχιστο στο x₀ = 1, το f(1) = 0, αφού f(x) ≥ f(1)  για κάθε   x ϵ R.

ΕΡΩΤΗΣΗ 1

Μια συνάρτηση παρουσιάζει οπωσδήποτε μέγιστο ή ελάχιστο σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει μόνο μέγιστο( 28α) ή να παρουσιάζει μόνο ελάχιστο(28β) ή να παρουσιάζει και μέγιστο και ελάχιστο(29α) ή να μην παρουσιάζει ούτε μέγιστο και ούτε ελάχιστο(29β).

ΕΡΩΤΗΣΗ 2

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f(x)≥α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης τότε το α είναι ολικό ελάχιστο της f;

Απάντηση

Όχι. Για να είναι ολικό ελάχιστο το α θα πρέπει να υπάρχει κάποιο στοιχείο x_ο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης έτσι ώστε f(x_ο)=α

Δηλαδή α ολικό ελάχιστο της f ⟺ f(x)≥α για κάθε x∈A και f(x_ο)=α για x_ο∈A

ΕΡΩΤΗΣΗ 3

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f(x)≤α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης τότε το α είναι ολικό μέγιστο της f;

Απάντηση

Όχι. Για να είναι ολικό μέγιστο το α θα πρέπει να υπάρχει κάποιο στοιχείο x_ο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης έτσι ώστε f(x_ο)=α

Δηλαδή α ολικό μέγιστο της f ⟺ f(x)≤α για κάθε x∈A και f(x_ο)=α για x_ο∈A