Ma 3: rationella uttryck

Ma 3: rationella uttryck och ekvationer

rationellt uttryck

 $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$  
där p och q är polynom
och  $q\left(x\right)\ne0$  

Multiple Choice

Detta är ett rationellt uttryck:  $\frac{x^2+3x}{x-7}$  

• ja, för att både täljare och nämnare är polynom

• nej, för att täljarens grad är högre än nämnarens

Multiple Select

Vilka uttryck är rationella uttryck?

• $\frac{x^{-1}+2}{x^2}$

• $\frac{x+3}{7}$

• $\frac{x-1}{x^2+1}$

• $\frac{x-7}{2^x}$

Multiple Choice

 $f\left(x\right)=\frac{x^2+6x}{x-1}$  
Bestäm  $f\left(1\right)$  

• det går ju inte, då blir nämnaren noll

•  $f\left(1\right)=0$  

•  $f\left(1\right)=7$  

Definitionsmängd

se upp för de förbjudna x-en

Multiple Select

Vilka (plural) uttryck är inte definierade för

 $x=1$  :

•  $\frac{x+1}{x-1}$  

•  $\frac{x-1}{x+1}$  

•  $\frac{1}{x^2-1}$  

•  $\frac{1}{x^2+1}$  

•  $\frac{x-1}{x-1}$  

Multiple Choice

Vilket stämmer för ett rationellt uttryck där nämnaren är ett polynom av grad 1?

• Eftersom nämnaren är ett polynom av grad 1 så har den ett nollställe, därför är uttrycket odefinierat för motsvarande värde på x

• Det kan vara så att uttrycket är definierat för alla x

• Det kan vara så att uttrycket är inte definierat för två olika värden, för att ett polynom av första grad korsar både x- och y-axeln

Multiple Choice

Vilket stämmer för definitionsmängden för ett rationellt uttryck där täljaren är av grad 2?

• definitionsmängden har inget med täljaren att göra

• uttrycket kan vara odefinierat för högst 2 värden på x

Multiple Choice

Det finns rationella uttryck som är definierade för alla x.

• Ja, till exempel
  $\frac{5}{x^2+1}$

  
  

  för att nämnaren inte kan vara noll

• Ja, till exempel
  $\frac{5}{x^2-1}$
  för att täljaren är en konstant

• Ja, till exempel $\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}$
  för att $\left(x-1\right)$ förkortas bort

• Nej, alla rationella uttryck har ställen de inte är definierade på

"Räkna"

följande frågor avser de x, för vilka uttrycken är definierade

Multiple Choice

 $\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$ 

• förenklas till  $\frac{x}{x-3}$  

• kan inte förenklas

Multiple Choice

 $\frac{x^2+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$ 

• förenklas till  $\frac{x^2}{x-3}$  

• kan inte förenklas

Multiple Choice

Jag lovar med handen på matteboken att jag aldrig någonsin kommer ge efter frestelsen att stryka termer i täljare och nämnare i ett rationellt uttryck

 $\frac{x+3}{x^2+2x+3}$   (till exempel treorna i detta uttryck)

• yes, mam!

• vadå termer?

Multiple Choice

 $\frac{2x^3}{2\left(x+4\right)}$  
Får man stryka tvåorna?

• Javisst, det är samma faktor uppe som nere

• Nej, det finns plus

Multiple Choice

 $\frac{2x^2+7}{2\left(x+4\right)}$  
Får man stryka tvåorna?

• Javisst, det är samma uppe som nere

• Nej, det finns plus

Multiple Choice

 $\frac{2x^2+7}{2x+8}$  
Får man stryka tvåorna?

• Javisst, det är samma uppe som nere

• Nej, det finns plus

Multiple Choice

 $\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x-3}$  

•  $\frac{3}{x-3}$  

•  $\frac{3}{2x-6}$  

•  $\frac{3}{\left(x-3\right)^2}$  

• går inte att skriva på samma bråkstreck

Multiple Choice

 $\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x-3}$  

•  $\frac{3\left(x-3\right)+2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{5}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{5}{2x-4}$  

• går inte att skriva på samma bråkstreck

Multiple Choice

 $\frac{3}{x-1}\cdot\frac{2}{x-3}$  

•  $\frac{3\left(x-3\right)\cdot2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{6}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{3\cdot\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\cdot2}$  

• går inte att skriva på samma bråkstreck

Multiple Choice

 $\frac{3}{x-1}\ \div\frac{2}{x-3}$  

•  $\frac{3\left(x-3\right)\cdot2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{6}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$  

•  $\frac{3\cdot\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\cdot2}$  

• går inte att skriva på samma bråkstreck

Byta plats och hantera minus

Multiple Choice

 $\frac{5x}{x-3}-\frac{3-x}{x-3}$  

•  $\frac{6x-3}{x-3}$  

•  $\frac{4x-3}{x-3}$  

Multiple Select

 $\frac{x-3}{x-2}$  

Vilka (plural) är samma sak:

•  $\frac{-\left(3-x\right)}{x-2}$  

•  $-\ \frac{3-x}{x-2}$  

•  $\frac{x-3}{-\left(2-x\right)}$  

•  $\frac{3-x}{2-x}$  

•  $\frac{3-x}{x-2}$  

Multiple Choice

 $\frac{x-1}{x-3}-\frac{2x-6}{x+5}$  

•  $\frac{x-1}{x-3}+\frac{6-2x}{x+5}$  

• kan inte skrivas om så

Se "chunks"

Multiple Choice

 $\left(x+4\right)^7+\left(x+4\right)^7$  

•  $2\left(x+4\right)^7$  

•  $\left(x+4\right)^{14}$  

•  $\left(2x+8\right)^7$  

Multiple Choice

 $7\left(x+4\right)^3-2\left(x+4\right)^3$  

•  $5\left(x+4\right)^3$  

•  $5\left(x+4\right)^0$  

•  $5$  

Multiple Choice

 $\left(x+1\right)^5+2\left(x+1\right)^3$  

•  $\left(x+1\right)^3\left(\left(x+1\right)^2+2\right)$  

•  $2\left(x+1\right)^8$  

Rationella ekvationer

• Steg 1: skriv upp def mängden (förbjudna x-en)

• Steg 2: skriv allt med samma nämnare

• Steg 3: multiplicera med nämnaren (det vill säga stryk den)

• Steg 4: lös ekvationen

• Steg 5: kontrollera att din lösning inte är "förbjuden"