11

Алгебра и начала анализа

(открытый урок)

Тема урока

Иррациональные уравнения

Цель урока

Сколько корней имеет уравнения?

 $\left(1\right)\ \ \ \ \ х^2=9$  
 $\left(2\right)\ \ \ \ \ х^5-1=0$  
 $\left(3\right)\ \ \ \ \ \ х^8+1=0$  

Найди ошибки: 

 $х^3=8$      $\rightarrow$     $х=\pm2$  

 $х^3=-8$        $\rightarrow$       нет корней


 $\sqrt{х}=4$            $\rightarrow$        х= $\pm16$  

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными

 $\sqrt{3х-1}=2;\ \ \ \ \ \ \ \ \left(2х+5\right)^{\frac{2}{3}}=1$  

Алгоритм решения уравнений 

• Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

• При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение

• Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы

Решим уравнение:

 $\sqrt{х+2}=х$  

• Возведем обе части уравнения в квадрат:   $х+2=х^2\ \ \ \ \ \ \ \$  

•  $х^2-х-2=0$  

•  $х_1=-1;\ \ \ \ \ х_2=2$  

• Проверка:   $х_1=-1\ \ \rightarrow\ \sqrt{-1+2}=-1\ \rightarrow\ 1\ne-1\ \ \ ЛОЖНО$  

•  $х_2=2\ \rightarrow\ \sqrt{2+2}=2\ \ \rightarrow\ 2=2\ \ \ \ ИСТИННО$  

• Ответ: х=2

Решим уравнение: $\sqrt{х^2+5х+1}+1=2х$   

•  $\sqrt{х^2+5х+1}=2х-1$  

•  $х^2+5х+1=\left(2х-1\right)^2$  

•  $х^2+5х+1=4х^2-4х+1$  

•  $3х^2-9х=0$  

•  $3х\left(х-3\right)=0\ \rightarrow\ х_1=0;\ \ х_2=3$  

• Проверка:    $х_1=0\ \rightarrow\ \ \sqrt{0^2+5\cdot0+1}+1-2\cdot0=0\ \rightarrow1\ne0\ Ложно$  

• Ответ: х=3

Метод введения новых переменных

Этот метод применяется с целью приведения иррационального уравнения сложного вида к более простому

Решим уравнение:

 $х+\sqrt{х}-2=0$  

• Обозначим  $\sqrt{х}=а$  

• Получим уравнение:  $а^2+а-2=0$  

• Находим корни:  $а_1=1\ \ \ и\ \ \ а_2=-2$ 

• Корень первого уравнения  $\sqrt{х}=1\ \rightarrow\ х=1\ \$  

• Второе уравнение не имеет корней, т.к.  $\sqrt{х}\ne-2\ \ \rightarrow\ \sqrt{х}\ge0$  

• Ответ: х=1