Operaciones con conjuntos

Operaciones con conjuntos

Las operaciones con conjuntos son formas específicas de combinarlos para obtener otro conjunto.

Conjunto producto

El conjunto producto de A y B que se representa por  $A\times B$  ( y se lee A por B), consiste en todos los pares ordenados  $\left(a,b\right)$   donde  $a\in A\ \ y\ \ b\in B$  , es decir:

 $A\times B=\left\{\left(a,b\right):\ a\in A\ ,\ b\in B\right\}$  

Ejemplo: Sea  $A=\left\{1,2,3\right\}\ \ \ y\ \ \ \ B=\left\{a,b\right\}$   entonces:
 $A\times B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,b\right),\left(2,a\right),\left(2,b\right),\left(3,a\right),\left(3,b\right)\right\}$  

Operaciones

• Unión

• Intersección

• Diferencia

• Complemento

• Diferencia simétrica

• conjunto producto

Unión

La unión de dos conjuntos A y B, que se representa por 

 $A\cup B$ , es  el conjunto de todos lo elementos que pertenecen a A o a B; es decir:  $A\cup B=\left\{x\ :\ x\in A\ o\ x\in B\right\}$  . Aquí "o" se usa con el significado de y/o.
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
P={1,2,3,4},    M={3,4,5,6}    por lo tanto  $P\cup M=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$  

Propiedades  de la unión de conjuntos.

 $A\cup B=B\cup A$  

 $A\cup\left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C$  
  $A\cup\phi=A$  
 $A\cup U=U$  
 $A\cup A=A$  
 $A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$  
  $A\cup\left(A\cap B\right)=A$  
Si   $A\cup B=\phi\ \ entonces\ A=\phi\ y\ B=\phi$  

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa por   $A\cap B$ es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos A y B, es decir :

 $A\cap B=\left\{x\ :\ x\in A\ \ y\ \ x\in B\right\}$  
Ejemplo:
Sean los  conjuntos: $A=\left\{1,2,3,4\right\}$  ,  $B=\left\{1,2,5,6\right\}$  entonces :
 $A\cap B=\left\{1,2\right\}$  

Propiedades  de la intersección de conjuntos.

 $A\cap B=B\cap A$   

  $A\cap\phi=\phi$ 
 $A\cap U=A$  
 $A\cap A=A$  
 $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap\left(B\cap C\right)$  
 $A\cap\left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)$  
 $A\cap\left(A\cup B\right)=A$  
Cada uno de los conjuntos A y B contienen a  $A\cap B\$   como subconjuntos, es decir:  $\left(A\cap B\right)\subset A\ \ y\ \ \left(A\cap B\right)\subset B$  

Complemento

El complemento de un conjunto A, representado por  $A^c$  , es el conjunto de elementos de  $U$   que no pertenecen a  $A$  , es decir:

 $A^c=\left\{x\ :\ x\ \in U,\ x\notin\ A\right\}$  
También se puede  representar  por   $A^´\ \ o\ \ \overline{A}$  .
Ejemplo: Sea   $U=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$  ,  $A=\left\{1,2,3\right\}$   entonces:
 $A^c=\left\{4,5,6\right\}$  

Operaciones en las que se aplica el complemento de un conjunto.

 $A\cap A^c=\phi$  
 $A\cup A^c=U$  
 $U^c=\phi$  
 $\phi^c=U$  
 $\left(A^c\right)^c=A$  el conjunto complemento del complemento de un conjunto A es el conjunto A.
Para todo conjunto  $A\subset U$  se  tiene que el complemento:  $A^c=U-A$  

 Diferencia

La diferencia de A y B, que se representa por  $A-B$  , es el conjunto de elementos que pertenecen  a   $A$   pero no a   $B$  , es decir:

 $A-B=\left\{x\ :\ x\ \in A,\ x\notin B\right\}$  
El conjunto   $A-B\$  se lee, "A menos B", también se representa como  A\B   o   $A\sim B$  y es dieferente de   $B-A$  ,
Ejemplo: Si  $A=\left\{1,2,3,4,5\right\}$  ,  $B=\left\{1,2\right\}$   entonces:
 $A-B=\left\{3,4,5\right\}$  

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B representada por  $A\Theta B$  consiste en aquellos  elementos que pertenecen a A  o  a B pero no a ambos, es decir:

 $A\Theta B=\left(A\cup B\right)\$  \  $\left(A\cap B\right)$   o  equivalentemente,
 $A\Theta B=$  (A\B) $\cup$  (B\A)
Ejemplos: Si   $U=\left\{1,2,3,....\right\}$  ,  $A=\left\{1,2,3,4,\right\}$  ,  $B=\left\{3,4,5,6,7\right\}$  , entonces  $A\Theta B=\left\{1,2,5,6,7\right\}$