Toán

Toán khối 12

Ứng dụng Min Max vào giải bài toán thực tiễn

Phương pháp làm bài toán ứng dụng "min max"

• Bước 1: Vẽ hình (nếu dạng hình học)

• Bước 2: Xác định và gọi ẩn mà đề bài yêu cầu

• Bước 3: Thuộc công thức hình học phẳng và hình học không gian (nếu là dạng hình học)

• Bước 4: Lập công thức (nếu chưa cho) hoặc thay số rồi tính (nếu cho sẵn) để tìm đạo hàm $f'\left(x\right)\ và\ f\left(x\right)$  

• Bước 5: Sử dụng Table để kích hoạt Start End và Step (Lưu ý: $STEP=\frac{END-START}{19}$  (trong đó: END: kết thức giá trị , START: bắt đầu của giá trị $\left[START=0\right]$  và STEP: Bước nhảy của giá trị)

• LƯU Ý: Nếu sử dụng bảng biến thiên thì không dùng đến TABLE tuy nhiên cần chính xác cao

Toán thực tế ứng dụng min max

1 số ví dụ thông thường (Thiết Lập Công Thức và Giải tìm đạo hàm)

Multiple Choice

Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích LỚN NHẤT

• $V=\frac{4\pi R^3}{2\sqrt{2}}$

• $V=\frac{4\pi R^3}{4\sqrt{3}}$

• $V=\frac{4\pi R^3}{\sqrt{3}}$

• $V=\frac{4\pi R^3}{2\sqrt{3}}$

• $V=\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$

Multiple Choice

Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30(cm). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.

Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là

• $x=5\left(cm\right)$

• $x=8\left(cm\right)$

• $x=9\left(cm\right)$

• $x=12\left(cm\right)$

• $x=10\left(cm\right)$

Multiple Choice

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)

• $S_{\max}=\frac{a^2}{12\sqrt{3}}$

• $S_{\max}=\frac{2a^2}{6\sqrt{3}}$

• $S_{\max}=\frac{a^2}{6\sqrt{3}}$

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}$

• $S_{\max}=a^2\sqrt{3}$

Multiple Choice

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{8}}{24}$

• $S_{\max}=\frac{a^2\sqrt{18}}{36}$

Fill in the Blanks

Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài cạnh tam giác là 6 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

Multiple Choice

Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

• $r=5_{\sqrt{\frac{V}{2\pi}}}$

• $r=2_{\sqrt{\frac{V}{2\pi}}}$

• $r=\sqrt{\frac{V}{2\pi}}$

• $r=3_{\sqrt{\frac{V}{2\pi}}}$

• $r=4_{\sqrt{\frac{V}{2\pi}}}$

Multiple Choice

Một sợi dây kim loại dài 60 (cm) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành vòng tròn. Phải cắt sợi dây như thế nào để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là NHỎ NHẤT ?

• $r=\frac{25}{\pi+4}$

• $r=\frac{50\left(\pi+2\right)}{\pi+1}$

• $r=\frac{30}{\pi+4}$

• $r=\frac{50}{\pi+1}$

• $r=\frac{50\left(\pi+2\right)}{\pi+6}$

Fill in the Blanks

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng/1 tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng/1 tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? Khi đó, có bao nhiêu căn hộ được cho thuê ?

[Cú pháp trả lời:

(đồng/tháng) và có ... căn hộ]

VD: 1.000.000 (đồng/tháng) và có 10 căn hộ

Multiple Choice

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1 m. Tính góc $\alpha=\angle DAB=\angle CBA$ sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích đó. 

•  $S=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

•  $S=\frac{3\sqrt{3}}{4}$  

•  $S=\frac{3\sqrt{3}}{8}$  

•  $S=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Multiple Select

Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình bên) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phểu, $0<x<2\pi$  

a) Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x. 
b) Tính thể tích hình nón theo R và x. 
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. 

•  $V=1$  

•  $V=\frac{R^3}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2-x^2}$  

•  $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

•  $\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-x^2}$  

•  $x=\frac{2\sqrt{6}}{3}$  

Toán thực tế ứng dụng min max

1 số ví dụ thông thường (Có công thức sẵn)

Fill in the Blanks

 Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s\left(t\right)=6t^2-t^3$ . Tính thời điểm $t\left(giây\right)$  tại đó vận tốc $v\left(\frac{m}{s}\right)$  [v (m/s) ] của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. 

Fill in the Blanks

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left(x\right)=0,025x^2\left(30-x\right)$  , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm NHIỀU NHẤT và tính độ giảm đó. 

Cú pháp trả lời : [Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

mg và độ giảm huyết áp là ...

Fill in the Blanks

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng $P\left(n\right)=480-20n\ \left(gam\right)$  . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được NHIỀU cá nhất ?  

Cú pháp trả lời: phải thả

cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất

VD: phải thả 8 cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất

Open Ended

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu $v_0>0$ từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc $\alpha$ với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc $\alpha$ ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol $\left(\gamma_a\right):\ y=-\frac{g}{2v_0^2}\left(1+\tan^2\alpha\right)x^2+x\tan\alpha$  (g là gia tốc trọng trường).
Chứng minh với mọi $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$  $\left(\gamma_a\right)$ luôn tiếp xúc với parabol có phương trình là $y=-\frac{g}{2v_0^2}x^2+\frac{v_0^2}{2g}$ và tìm tọa độ tiếp điểm ( $\left(\Gamma\right)$ được gọi là parabol an toàn)

Đây là câu chứng minh nên học sinh tự làm vào giấy rồi trả lời vào Quizizz là "ĐÃ XONG"

Multiple Select

Một tạp chi được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi công thức $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+10000\ ,\ C\left(x\right)$ được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 
Ý thứ nhất:
a) Tính tổng chi phí $T\left(x\right)$ (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b) Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn.Tính $M\left(x\right)$ theo x và tìm số lượng tạp chi cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.

Ý thứ hai
Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết.
a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là $L\left(x\right)=-0,0001x+1,8x-1000$  
b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi ?
c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó. 

•  $918$  

•  $M\left(x\right)=0,0001x^2+\frac{1000}{x}+0,2$  với $x=1,2$  

•  $T\left(x\right)=C\left(x\right)+0,4x=0,0001x^2+0,2x+1000$  

•  $71.000.000\ đồng$  

•  $22.000\ đồng$  

Fill in the Blanks

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tóc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc của cá bơi khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức $E\left(v\right)=cv^3t$ , trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

CÚ PHÁP TRẢ LỜI: Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất là

(km/h)