Les manipulations de formules

Les manipulations de formules

Une réalisation signée Paul MOREA & Théophile GAREL

Table des matières

• I - Définitions et illustrations

• II - Les nombres relatifs

• III - Les lois de résolution d'équations

I - DEFINITIONS ET ILLUSTRATIONS

Formule

Ensemble de termes algébriques contenant l'expression générale d'un calcul ou son résultat.​

​

source : Wikipédia

Exemples de formules :

• E = mc² ; célèbre formule signée Albert Einstein indiquant l'équivalence entre la masse et l'énergie.

​

• c² = a² + b² ; le fameux théorème de Pythagore adoré de notre international tricolore favori

Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, sous la forme d'un produit. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire.

​

source : Wikipédia

Exemples :

• 4 ✕ 7 +4 ✕ 12 = 4 ✕ (7+12)

• 5 ✕ 11+ 3 ✕ 11 = (5+3) ✕ 11

• 3a + 21 = 3 x (a+7)

• ab+ac=a(b+c)

• 10 + 6x² → 2✕(5+3x)

Multiple Choice

Factoriser 3a + 3 = ?

• 6a

• 6 + a

• 3(a+1)

• 3(a+3)

Développement

En mathématiques, le développement d'une expression est le procédé inverse de la factorisation, de portée toutefois plus limitée que celle-ci.

Le développement d'une expression se fait comme la factorisation à l'aide des règles de distributivité, utilisées dans l'autre sens. Le développement est toutefois algorithmiquement plus simple que la factorisation.

​

source : Wikipédia

Exemples :

• a(b+c)=ab+ac

• (a+b)c=ac+bc

•  (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Multiple Choice

Développer 5(x+5) =

• 25x

• 5x+25

• 5x

• 5x+25x

En résumé

Factoriser une expression revient à la "réduire", la développer revient à la "détailler/décomposer".

Identités remarquables

En factorisation comme en développement, il existes des formules appelées identités remarquables visant à simplifier les calculs lors de la présence d’inconnues.

Exemple :

• Développement : (3x - 7)² = (3x)² - 2 ✕ (3x 7) + (7)² | ici a = 3x ; b = 7

• Factorisation : 9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2 ✕ 3x ✕ 2 + 2² = (3x − 2)²

Multiple Choice

Développer (x+2)² =

• x²-2.x.2 + 2²

  = x² - 4x - 4

• x² + 2²

• 2x²

• x²+2.x.2 + 2²

  = x² + 4x +4

Simplification

La simplification est un procédé mathématique visant à réécrire une expression avec le minimum d'éléments et de variables.

​

​Source : www.dcode.fr

Exemple : Simplification d'une équation

Source : wikiHow

Multiple Choice

Simplifier 5x+5=

• 5(x+1)

• 10x

• 5x

• x+10

II - LES NOMBRES RELATIFS

Définition :

En mathématiques, un entier relatif est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à 0 sur un axe orienté.

​

Source : Wikipédia

Fonctionnement des additions et soustractions des nombres relatifs :

Source : slideplayer.fr

Multiple Choice

Résoudre 5 - 10 + 3 = ?

• - 8

• - 2

• - 12

• 8

Multiplication et division des nombres relatifs : Application de la règle des signes

source : math-coaching.com

Multiple Choice

Résoudre - 4 x - 4 = ?

• - 16

• 16

• -8

• 8

​III - Les lois de résolution d'équations

​Quand on bascule un élément de l’autre côté du signe “=”, son signe s’inverse.

Voyons ensemble la règle qui s'applique à chaque signe !

​Signe positif "+"

​ X + 2 = 1  devient X = 1 -2 pour une résultat final de X = -1.

​

Ici, le 2 (sous-entendu +2) est devenu (-2).

Quand le signe est un "+" il devient un "-" lorsqu'il est passé de l'autre côté de l'équation.

Multiple Choice

Résoudre x + 8 + 9 = 20

• x = 37

• x = 3

• x = 20

• x = 0

​Signe négatif "-"

X – 5 = 8  devient X = 8 + 5 pour un résultat final de X = 13

​

Le (-5) et est devenu (+5).

​

​

Quand le signe est un "-" il devient un "+" lorsqu'il est passé de l'autre côté de l'équation.

Multiple Choice

Résoudre x - 7 + 4 = 0 

• x = 11

• x = 3

• x = 0

• x = -3

​Signe multiplier "x"

  2X = 3  devient X = 3/2 pour un résultat final de X = 1.5

Le (x2) est devenu (/2).

​

​

Quand le signe est un "x" il devient un "/" lorsqu'il est passé de l'autre côté de l'équation.

Multiple Choice

Résoudre 3x = 9

• x = 3

• x = -3

• x = 9

• x = 12

​Signe diviser "/"

X/5 = 6  devient X = 6x5 pour un résultat final de X = 30

​

Le (/5) est devenu (x5).

​

​

Quand le signe est un "x" il devient un "/" lorsqu'il est passé de l'autre côté de l'équation.

Multiple Choice

Résoudre x/5 = 20

• x = 25

• x = 10

• x = 100

• x = 4