Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Teorema dos Senos eTeorema dos Cossenos

Teorema dos Senos; Exemplos; Aplicações

Objetivos

• Deduzir o Teorema dos Senos

• Aplicar o Teorema dos Senos nas resoluções de problemas Matemáticos

• Deduzir o Teorema dos Cossenos

• Aplicar o Teorema dos Cossenos nas resoluções de problemas matemáticos.

Teorema dos Senos

Enunciado: os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

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Teorema dos Senos

•  $\sin\ D\ =\ \sin\ A,\ desta\ forma\ se\ \sin\ D=\frac{BC}{2R}\leftrightarrow\ \sin\ A=\frac{BC}{2R}\ assim:\ 2r=\frac{BC}{2R}$  

Exemplo:

 (UNESP) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e BĈD valem 30º, e o ângulo AĈB vale 105º, como mostra a figura. A altura h do mastro da bandeira, em metros, é

Teorema de Cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formados.

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Exemplo

Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do

estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas

em linha reta entre os pontos que representam as cidades

de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as

cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente,

80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias

em linha reta entre os pontos que representam as cidades

de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo

equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha

reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo,

Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo,

conforme mostra o mapa.

Exemplo

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

Resolução