Kaidah Pencacahan

KAIDAH PENCACAHAN

Eri Widyastuti

Tujuan Pembelajaran

• Siswa dapat memahami pengaturan pengisian tempat yang tersedia atau Kaidah Perkalian

• Siswa memahami defenisi Faktorial, Notasi Faktorial, dan Permutasi serta dapat menggunakannya untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari

~ Aturan pengisian tempat yang tersedia

Contoh 1:

 Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

 Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

Jawab

  Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu:

   

 AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

 Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:

 Langkah 1:

 Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

 Langkah 2:

 Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

  

Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 (susunan pemenang yang mungkin terjadi)

Contoh 2 :

Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap?

 Jawab:

 Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.

Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 cara amelia dapat berpakaian lengkap

  

Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :

Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:

 n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.

 n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat  pertama terisi.

 n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat  pertama dan kedua terisi, dan

 nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat- tempat sebelumnya terisi.

 Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah 

 Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.

Definisi dan Notasi faktorial

 Definisi:

Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.

            jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau

                 n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

  dengan       1! = 1 dan 0! = 1   

     

Permutasi

῀ Contoh 3:
Diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

Jaw ab:
Menurut Prinsip Perkalian
Banyaknya cara: n(S) = P(3,2)  = 3×2 = 6 

 $P\left(3,2\right)=\frac{\text{3 x 2 x 1}}{\text{1}}=\frac{\text{3!}}{\text{(3 - 2)!}}\rightarrow\ P\left(n,r\right)=\frac{\text{n!}}{\text{(n-r)!}}$  

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Contoh 4 : Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?

Jawab
Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =   $P\left(7;4,2,1\right)=\frac{\text{7!}}{\text{4!2!1!}}=105\ cara$  
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada  $C\left(7;4\right)$  
Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada      , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada   $C\left(7,4,2;1\right)$    
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf  dari kata KAKAKKU ada:   $P\left(7;4,2,1\right)=C\left(7;4\right)\ x\ C\left(7-4;2\right)\ x\ C\left(7-4-2;1\right)=\frac{\text{7.6.5.4}}{\text{4!}}\frac{3.2\text{d}}{\text{2!}}\frac{\text{1}}{\text{1!}}=\frac{\text{7!}}{\text{4!2!1!}}$  
 

Secara umum, 

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

adalah

Permutasi Siklis

Contoh 5 : 4 orang anak A, B, C, dan D diminta naik ke permainan roda putar.

Banyaknya cara 4 orang anak itu menepati tempat duduk roda putar adalah 6 cara.

Refleksi

1. Raden memiliki 3 buah sepatu, 5 buah kaos kaki, dan 2 buah tali sepatu. Berapa banyak cara Raden dapat memakai sepatu, kaos kaki, dan tali sepatu?

2. Terdapat buah anggur, belimbing, manga, apel, jeruk, dan salak. Masing-masing buah akan disusun berjajar. Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari buah-buahan tersebut?

3. Dari 9 peserta Olimpiade Matematika Tingkat Kota, akan dipilih 3 juara, yaitu: juara 1, juara 2, dan juara 3. Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk?

4. Suatu kelompok arisan ibu-ibu memiliki 9 anggota. Apabila setiap arisan mereka duduk melingkar, ada berapa banyak posisi duduk ibu-ibu yang dapat dibentuk?