Kaidah Pencacahan (Sub Topik Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian)

Kaidah Pencacahan

(Sub Topik Aturan Penjumlahan dan

Aturan Perkalian)

by Ni Ketut Sartini

Petunjuk:

1. ​Pada lesson ini kalian akan mempelajari materi aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

2. Cermati permasalahan yang diberikan dengan baik agar kalian menguasai konsep aturan penjumlahan dan aturan perkalian dengan baik

3. ​Pada lesson ini juga disedikan 4 latihan soal yang harus kalian jawab untuk menguji pemahaman kalian terhadap materi aturan penjumlahan dan aturan perkalian

4. ​Di akhir aktivitas kalian diminta mengisi refleksi terhadap pembelajaran ini.

5. ​Selamat belajar.

​​1. Aturan Penjumlahan

Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan penjumlahan, perhatikan dua masalah berikut!

​

​Masalah 1.1

​Di dalam kotak pensil terdapat 5 pulpen dan 3 pensil, berapakah banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil?

​​​Untuk masalah 1 dapat kita selesaikan sebagai berikut:

• Kejadian pertama (memilih satu pulpen) dapat terjadi dengan 5 cara.

• Kejadian kedua (memilih satu pensil) dapat terjadi dengan 3 cara.

Jadi, banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil adalah 5 + 3 = 8 cara.

​

​​Masalah 1.2

​Mira mempunyai 3 kemeja dan 2 kaos. Pada saat akan bepergian Mira memakai salah satu dari kemeja atau kaos yang dimilikinya. Tentukan banyak pilihan kemeja atau kaos yang dapat dipakai Mira!

​

​Permasalahan ini dapat diselesaikan sebagai berikut.

​

Banyak kemeja yang dimiliki Mira ada 3. Dengan demikian ia dapat memilih salah satu dari 3 kemeja tersebut. Banyak kaos yang dimiliki Mira ada 2. Dengan demikikan, ia dapat memilih salah satu dari 2 kaos tersebut. Oleh karena Mira hanya dapat memakai salah satu dari kemeja atau kaos yang dimilikinya, banyak pilihan yang dimiliki Mira adalah 3+2=5 pilihan.

​

​Masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan penjumlahan

​Secara khusus aturan penjumlahan berbunyi sebagai berikut.

​

“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama atau kejadian kedua dapat terjadi dalam (m + n) cara.”

​

 Aturan penjumlahan dapat diperluas sebagai berikut.

​

​“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara, kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n₂ cara, kejadian ketiga secara terpisah dapat terjadi dalam n₃ cara, dan seterusnya, dan kejadian ke-p secara terpisah dapat terjadi dalam n_p cara, maka kejadian pertama, atau kedua, atau ketiga, ... , atau kejadian ke-p dapat terjadi dalam (n₁ + n₂ + n₃ + ... + n_p) cara.”

​Contoh 1

​Di dalam kantong terdapat 10 kelereng berwarna merah, 7 kelereng berwarna hijau, 5 kelereng berwarna kuning, dan 3 kelereng berwarna biru. Berapakah banyaknya kemungkinan untuk mengambil satu kelereng berwarna merah atau hijau atau kuning atau biru?

​​Jawab:

• ​Kejadian pertama (mengambil satu kelereng merah) dapat terjadi dengan 10 cara

• ​Kejadian kedua (mengambil satu kelereng hijau) dapat terjadi dengan 7 cara.

• ​Kejadian ketiga (mengambil satu kelereng kuning) dapat terjadi dengan 5 cara

• ​Kejadian keempat (mengambil satu kelereng biru) dapat terjadi dengan 3 cara.

  Jadi banyaknya cara mengambil satu kelereng warna merah atau hijau atau kuning atau biru adalah 10 + 7 + 5 + 3 = 25 cara.

Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan perkalian, perhatikan masalah berikut!

​Masalah 2.1

Wayan memiliki 3 baju yang berbeda warna, yaitu hijau, biru, dan abu-abu. Dia juga mempunyai 2 celana panjang yang warnanya berbeda, yaitu biru dan hitam seperti pada gambar di bawah ini.

​

​

​

​

​

​Dapatkah kalian menolong Wayan untuk menentukan banyaknya setelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan?

​2. Aturan Perkalian

​

​

​

​

​

Dari permasalahan tersebut, kalian dapat membuat tabel untuk mencatat semua setelan baju dan celana berbeda seperti berikut ini

​

​

​

​

​

​​Dari tabel di atas diperoleh banyaknya stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan ada 6.

​

​

​

​

​

​Atau bisa kalian simulasikan seperti ini

​

​

Jika dihubungkan dengan banyak baju dan celana berbeda yang dimiliki Wayan, maka kita bisa menuliskan 6 = 3 x  2 = n(B) x n(C). Atau banyak setelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan merupakan hasil perkalian antara banyak baju berbeda dengan banyak celana berbeda yang dimiliki Wayan.

​

 

​Masalah 2.2 Melambungkan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu

​

Di SMP, kalian telah mempelajari tentang ruang sampel. Banyak anggota ruang sampel dari sekeping mata uang logam ada 2, yaitu Angka dan Gambar atau bisa ditulis dengan S₁ = {A, G}. Banyak anggota ruang sampel dari sebuah dadu ada 6, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 atau bisa ditulis dengan S₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

​a. Ambillah sekeping mata uang logam dan sebuah dadu, kemudian lambungkan keduanya bersama-sama.

​b. Catatlah hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan. Misalnya, jika setelah melambungkan uang logam dan dadu tersebut diperoleh sisi gambar pada uang dan angka 1 pada dadu, maka ditulis dalam pasangan berurutan

(A, 1).

​c. Dapatkah kalian menentukan semua hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan dari percobaan di atas?

​

​Nah, untuk menjawab pertanyaan ini, kita membuat tabel untuk mencatat semua hasil yang mungkin dari percobaan seperti berikut ini.

​

​Bisa juga dengan cara mendaftar anggotanya seperti berikut:

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}

Banyak anggota dari ruang sampel S atau ditulis n(S) = 12.

Berarti banyak hasil yang mungkin dari pelambungan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu adalah 12.

​

Coba kita mencari hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek mata uang logam yakni n(S₁) = 2 dan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek dadu yakni n(S₂) = 6.

Kalau kita amati secara seksama ternyata n(S) = 12 = 2 x 6 = n(S₁) x n(S₂)

​

​Dua masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan perkalian.

​Contoh 2

​Putri akan menyusun bilangan ratusan dari angka–angka 0,1,2,3. Tentukan banyak susunan bilangan ratusan yang terdiri atas angka-angka berbeda yang dapat dibentuk.

​Jawab:

​Untuk menyelesaikan soal di atas, kalian dapat mendata bilangan-bilangan yang mungkin terbentuk sebagai berikut:

​

​

​Dengan demikian ada 18 bilangan ratusan berbeda yang dapat disusun dari angka 0,1,2 dan 3

​Agar lebih mudah, kalian juga dapat menerapkan konsep aturan perkalian pada persoalan tersebut sebagai berikut.

​ Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan, puluhan dan satuan.

1. ​Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat ratusan ada 3 yaitu 1,2 dan 3

2. ​Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan ada 4 yaitu 0,1,2,dan 3. Oleh karena bilangan ratusan yang disusun harus berbeda, setelah satu angka menempati tempat ratusan, tersisa (4-1)= 3 angka sehingga ada 3 cara untuk mengisi nilai tempat puluhan.

3. ​Setelah dua angka menempati tempat ratusan, dan puluhan tersisa (4-2)= 2 angka sehingga ada 2 cara untuk mengisi nilai tempat satuan.

​Dengan demikian, dapat disusun sebagai berikut:

​Jadi banyaknya bilangan ratusan berbeda yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3 adalah

​3x3x2=18 bilangan

Selamat kalian sudah menguasai materi dengan baik.

Pada slide berikutnya kalian akan dihadapkan pada soal-soal untuk melatih/menguji pemahaman kalian terhadap materi ini.

Selamat mengerjakan!

Multiple Choice

 Dalam susunan kepanitiaan OSIS, terdapat sie keamaan, sie budi pekerti, sie kesenian, sie olahraga, dan sie kebersihan lingkungan. Sie keamaan terdiri dari 10 anggota, sie budi pekerti terdiri dari 12 anggota, sie kesenian 10 anggota, sie olahraga 8 anggota, dan sie kebersihan lingkungan terdiri dari 10 anggota. Jika salah satu dari anggota sie tersebut dipilih untuk mewakili OSIS dalam rapat evaluasi program sekolah, tentukan banyak cara memilih perwakilan OSIS tersebut.                                                                          

• 50

• 45

• 40

• 35

• 30

Fill in the Blanks

Multiple Choice

Made mencari buku tentang Olahraga, Politik dan Kesehatan. Di perpustakaan sekolah, Made menemukan beberapa macam buku dari jenis buku yang dibutuhkannya. Berikut adalah data buku yang dibutuhkannya yang ada di perpustakaan.

Made hanya boleh meminjam dua buku, dengan catatan hanya satu buku untuk setiap jenis yang diinginkannya. Tentukan banyak pilihan variasi buku yang dapat dipinjam Made.

• 120

• 84

• 74

• 15

Open Ended

Apa kesimpulan yang kalian peroleh dari pembelajaran ini?

Open Ended

Bagaimana perasaan kalian mempelajari materi ini?

Open Ended

Tulis masukan/saran kalian terhadap pembelajaran ini!