Progressão Aritmética - PA

Progressão Aritmética - PA

Vagner Oliveira

​PROGRESSÃO ARITMÉTICA - DEFINIÇÃO

Observemos, inicialmente, as seguintes sequências: (2, 4, 6, 8, ...) e (8, 5, 2, –1, ...). É fácil percebermos que os próximos três termos dessas sequências são, respectivamente, (10, 12, 14) e (–4, –7, –10). Isso porque, na primeira sequência, cada termo é obtido somando 2 ao termo anterior e, na segunda, cada termo é obtido somando (–3) ao termo anterior. Esse tipo de sequência recebe o nome de Progressão Aritmética (P.A.).​

​​PROGRESSÃO ARITMÉTICA - DEFINIÇÃO

Esse tipo de sequência recebe o nome de Progressão Aritmética (P.A.). Formalmente, dizemos que Progressão Aritmética (P.A.) é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido somando um valor fixo r ao termo anterior. Nesse sentido, genericamente, pode ser escrita com a lei de formação:​

​EXEMPLOS

Na P.A. (2, –5, –12, ...), a razão é –7, pois:

​

a₁ = 2 e a₂ = –5   a₂ = –5 e a₃ = –12

r = (–5) – 2 ⇒ r = –7    r = –12 – (–5) ⇒ r = –7​

​EXERCÍCIO 01 - RESOLVIDO

​A sequência (x – 4, 2x – 1, –x + 3, ...) representa uma progressão aritmética. Calcule o valor de x.

​

​Resolução: A razão r pode ser obtida usando dois termos consecutivos. Assim, r = a₂ – a₁ e r = a₃ – a₂. Desse modo, temos:

​EXERCÍCIO 02 - RESOLVIDO

​A sequência (4, x + 2, y – 4) constitui uma progressão aritmética de razão 3. Obtenha:

a) os valores de x e y.

​

​

b) os termos da sequência.

​

​Termo geral (a_n)

​Usando a lei de formação de uma Progressão Aritmética, podemos escrever:

Para n = 1: a₁ = a₁ ⇒ a₁ = a₁ + 0r

Para n = 2: a₂ = a₁ + r ⇒ a₂ = a₁ + 1.r

Para n = 3: a₃ = a₂ + r ⇒ a₃ = a₁ + 2.r

Para n = 4: a₄ = a₃ + r ⇒ a₄ = a₁ + 3.r

Para n = n: a_n = a_(n-1) + r ⇒ a_n = a₁ + (n – 1) . r

​TERMO GERAL

Assim, temos o termo geral:​

​EXERCÍCIO 03 - RESOLVIDO

​Obtenha a expressão do termo geral e o vigésimo oitavo termo da P.A. (2, 5, 8, ...).

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DA P.A

​ONDE:

​- S_n é a soma de todos os termos

​- n é número de lados

​- a₁ é o primeiro termo da sequência

​- an é o último termo da sequência

EXERCÍCIO RESOLVIDO​

​Qual é a soma dos quinze termos iniciais da sequência (–2, 1, 4, 7, ...)?

​

​Resolução: A sequência é uma P.A. na qual a₁ = –2, r = 3. Para os 15 primeiros termos, temos n = 15. A soma dos termos é:

​

​

​Então, precisamos obter o 15^o termo (a₁₅).

a_n = a₁ + (n – 1)r ⇒ a₁₅ = –2 + (15 – 1) . 3

a₁₅ = –2 + 42 ⇒ a₁₅ = 40