Osnove aritmetike

​OSNOVE ARITMETIKE

​pripreme za maturu

​ISHODI:

• ​Analizira skup realnih brojeva.

• ​Računa s kompleksnim brojevima.

• ​Interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini.

​Osnovni pojmovi 1

​Osnovni pojmovi 2

​Osnovni pojmovi 3

​Osnovni pojmovi 4

​Osnovni pojmovi 5

​Osnovni pojmovi 6

​Osnovni pojmovi 7

• ​POSTOTAK - stoti dio nečega. Označava se s %.

• ​PRAVILA DJELJIVOSTI - pravila koja omogućuju brzu provjeru djeljivosti prirodnog broja nekim drugim prirodnim brojem.

  • ​Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka paran broj ili 0.

  • ​Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3.

  • ​Broj je djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4.

  • ​Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka 0 ili 5.

  • ​Broj je djeljiv s 11 ako mu je razlika zbroja znamenaka na parnim i neparnim mjestima djeljiva s 11. (npr. 7152849 je djeljiv s 11)

​Osnovni pojmovi 8

• ​PRAVILA DJELJIVOSTI - nastavak

  • Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv s 2 i 3.

  • Broj je djeljiv s 8 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8.

  • Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9.

  • Broj je djeljiv s 10 ako mu je zadnja znamenka 0.​

• ​PRODUKT (umnožak) - rezultat množenja

• ​PROMIL - tisućiti dio nečega. Označava se s ‰.

• ​PROST BROJ - prirodan broj koji ima točno 2 djelitelja (broj koji je djeljiv s 1 i sa samim sobom), npr. brojevi 2, 3, 5,

​Opći pojmovi 9

​Osnovni pojmovi 10

​Skup realnih brojeva i njegovi podskupovi

Multiple Choice

Koja od navedenih tvrdnji je istinita?

• $$-1.5\ \in Z$$  

• $$\sqrt{2}\ \in Q$$  

• $$\frac{1}{2}\in R$$  

• $$\pi\in N$$  

Multiple Choice

Samo je jedan od navedenih brojeva racionalan. Koji?

• $$\sqrt{\pi^2}$$  

• $$0.1010010001000010000\dots$$  

•   $$0.\text{4444444\dots}$$  

• $$-\sqrt{0.9}$$  

Multiple Choice

Koji od brojeva pripada skupu iracionalnih brojeva?

• $$4.33$$  

• $$-\sqrt{16}$$  

• $$-\frac{4}{7}$$  

• $$\sqrt{5}$$  

Multiple Choice

Jedan od navedenih brojeva je uljez. Koji?

• $$\frac{1}{3}$$  

• $$3.1415$$  

• $$\sqrt{0.81}$$  

• $$2\sqrt{3}$$  

Multiple Choice

Koliko iracionalnih brojeva sadrži skup

$$\ \left\{\ \ \sqrt{\frac{9}{3}},\ 3.14,\ \frac{0.11}{0.13},\ 0.123\overline{4567},\ \sqrt{7},\ \frac{\sqrt{121}}{4},\ 0,\ \log3,\ \pi\right\}$$  ?

• 3

• 4

• 5

• $$2\sqrt{3}$$  

Multiple Choice

Usporedi dane brojeve:

$$2.7104\ \square\ 2.71$$  

• >

• <

• =

Multiple Choice

Usporedi dane brojeve:

$$3.723\ \square\ 3.722999$$  

• >

• <

• =

Multiple Choice

Usporedi dane brojeve:

$$-5.133\ \square\ -5.129$$  

• >

• <

• =

Multiple Choice

Usporedi dane brojeve:

$$-2.130777...\ \square\ -2.1307$$  

• >

• <

• =

Multiple Choice

Koji je broj manji?

• $$-\sqrt{2}$$  

• $$-1.41$$  

Multiple Choice

Koji je broj manji?

• $$-\pi$$  

• $$-3.1415$$  

Multiple Choice

Koji je od navedenih brojeva između  $$\frac{4}{9}$$   i $$\frac{9}{10}$$  ?

• $$\frac{7}{18}$$  

• $$\frac{14}{15}$$  

• $$\frac{7}{20}$$  

• $$\frac{7}{15}$$  

Multiple Choice

Koji je broj veći od $$\frac{1}{4}$$   i manji od $$\frac{1}{3}$$  ?

• $$\frac{1}{5}$$  

• $$\frac{1}{7}$$  

• $$\frac{3}{8}$$  

• $$\frac{3}{10}$$  

​INTERVALI

​PRIMJER

Multiple Choice

Interval $$<-3,11]$$ podskup je skupa realnih brojeva. Što od navedenog vrijedi za elemente $$x$$ tog intervala?

• $$-3<x\le11$$  

• $$-3\le x\le11$$  

• $$x\in\left\{-2,-1,0,1,2,\dots,11\right\}$$

• $$x\in\left\{-2.9,-2.8,\dots,\ 10.9,11\right\}$$  

Multiple Choice

Kojemu intervalu pripadaju brojevi $$-\frac{1}{2}$$  i $$1$$ ?

• $$<-\frac{1}{2},1]$$  

• $$<-1,1]$$  

• $$\left[-1,\frac{1}{2}\right]$$  

• $$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$$  

• $$<1,\infty>$$  

Multiple Choice

Koliko cijelih brojeva ima u $$[-\frac{11}{4},3>$$  ?

• 4

• 5

• 6

• 7

Multiple Choice

Koliko cijelih brojeva sadrži zajednički dio zatvorenih intervala prikazanih na brojevnim pravcima na slici?

• 5

• 4

• 3

• 2

​SKUPOVI

​PRIMJER

Multiple Choice

Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadžbama $$x\le-2$$ ili $$x>3$$  ?

• $$[-2,3>$$  

• $$R\backslash[-2,3>$$  

• $$\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$$  

• $$<-\infty,-2]\cup<3,\infty>$$  

RAČUNSKE OPERACIJE U R​

Zbrajanje i množenje

Potenciranje

Korjenovanje

Apsolutna vrijednost realnog broja

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\left[-2-3\cdot\left(-6\right)\right]\cdot\left[24\cdot\left(-1\right)-\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)\right]=$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$1-2\cdot\left(-1\right)\left\{1-2\left[1-2-\left(1-2\right)\cdot2\right]\right\}=$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\left[\frac{3}{5}-\frac{12}{5}\cdot\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{3}\right)\right]:\frac{5}{8}-\left(1-\frac{1}{3}\right)=$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\left[\frac{3}{5}-1.2\left(1+1\frac{1}{2}\right)\right]:\left[\left(2.5-\frac{2}{5}\right):\frac{7}{8}-3\right]=$$  

Fill in the Blank

Odredite vrijednost izraza za $$a=\frac{3}{4},\ b=\frac{4}{5}$$  :

$$\frac{a-\frac{5}{b}}{b-\frac{3}{a}}$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\frac{7.5-4\frac{5}{6}}{8\frac{2}{3}-3.8}=$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\frac{3+4.2:0.1}{\left(1:0.3-\frac{7}{3}\right)\cdot0.3125}=$$  

Fill in the Blank

Izračunaj:

$$\frac{0.875}{3.2-1\frac{1}{3}}:\ \frac{3+\frac{3}{4}}{1.2}=$$  

Multiple Choice

Koji od navedenih izraza ima vrijednost 0?

• $$\frac{1}{\frac{\left(3\frac{1}{3}-1\right)\cdot2.5}{0.06:0.72}-70}=$$  

• $$\frac{2-3\left\{3-2-\ \left[3-2\cdot\left(-3\right)\right]\cdot2-3\right\}-62}{1-\left(2-\left(3-4\right)\right)+2}=$$  

• $$\frac{45-\left(3+4.2:0.1\right)}{-4-2^2}=$$  

Fill in the Blank

Operacija  $$\otimes$$  s realnim brojevima definirana je pravilom  $$a\ \otimes b\ =\ a-2b+2$$ . Izračunajte koliko je $$2\otimes5$$  .

​Potenciranje

​Potencije - bitno za zapamtiti

​Zapiši u obliku decimalnog broja sljedeće potencije:

Fill in the Blank

Radiosignal putuje brzinom $$3\cdot10^8$$  m/s. Koliki je put u metrima prešao za 20 minuta od trenutka odašiljanja?

Multiple Choice

Svjetlost prijeđe udaljenost od zvjezde Alpha Centauri do Zemlje za 4.3 godine. Brzina svjetlosti je 300 milijuna metara u sekundi. Kolika je udaljenost u kilometrima između Alpha Centauri i Zemlje? (Brzina je omjer prijeđenog puta i vremena.)

• $$4\cdot10^{12}$$  

• $$4\cdot10^{13}$$  

• $$4\cdot10^{14}$$  

• $$4\cdot10^{15}$$  

Multiple Choice

Volumen planeta Marsa je $$1.629\cdot10^{20}\ m^3$$ , a njegova prosječna gustoća je $$3940\ \frac{kg}{m^3}$$  . Kolika je masa planeta Marsa? Napomena: Gustoća je omjer mase i volumena.

• $$2.41876\cdot10^{22}$$  kg

• $$6.41826\cdot10^{22}$$  kg

• $$2.41876\cdot10^{23}$$  kg

• $$6.41826\cdot10^{23}$$  kg

​Pravila za računanje s potencijama

• ​Potencije možemo množiti ili dijeliti ako imaju iste baze ili iste eksponente.

• Potencije ne možemo zbrajati ni oduzimati osim potpuno jednakih.

ZADATCI​ SA POTENCIJAMA

Multiple Choice

Koliko je $$5\cdot2^{2010}-3\cdot2^{2011}+14\cdot2^{2009}$$ ?

• $$9\cdot2^{2009}$$  

• $$7\cdot2^{2010}$$  

• $$3\cdot2^{2011}$$  

• $$5\cdot2^{2012}$$  

Multiple Choice

Zadani su realni brojevi  $$K=\overline{ab}\ \cdot10^{14}$$  i  $$L=\overline{ba}\ \cdot10^{13}$$ , pri čemu su  $$a$$  i  $$b$$  brojevi iz skupa  $$\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$$ . Zbroj brojeva  $$K$$  i  $$L$$  je  $$9.49\cdot10^{15}$$ . Koliko je  $$a-b$$ ? Napomena: Oznaka  $$\overline{xy}$$  označava dvoznamenkasti broj kojemu je  $$x$$  znamenka desetica, a  $$y$$  znamenka jedinica.

• 4

• 5

• 6

• 7