Questões para resolução do problema

Problema

Um fazendeiro pretende construir um cercado em formato retangular em sua propriedade. Com o objetivo de gastar a menor quantidade de material (cerca) possível, ele também pretende utilizar um celeiro de sua propriedade como base desse cercado. Um esboço do projeto pode ser visualizado a seguir. Sabe-se que o comprimento do lado do celeiro que servirá de base para o cercado é 40 m e que o fazendeiro dispõe de 500 m de cerca para a construção.

Problema

a) Determine a área do cercado A(x) em função da medida x indicada na figura.

b) Faça um esboço do gráfico de A(x).

c) Determine o valor de x que fornece a maior área possível para o cercado. Dica: observe o gráfico da função.

• Questões para resolução do item a

Multiple Choice

O fazendeiro pretende construir um cercado em formato retangular, sabendo que a área de um retângulo é dada por:  $$base\times altura$$ . Qual será a área do cercado?

• $$A\left(x\right)=2x+2y$$  

• $$A\left(x\right)=yx$$  

• $$A\left(x\right)=\frac{yx}{2}$$  

Multiple Choice

A medida do lado oposto de y, que está marcado em vermelho é:

• $$x$$  

• $$y$$  

• $$y-40$$  

Multiple Choice

Pelo enunciado do problema, sabe-se que a medida do lado do celeiro que será utilizado como base para o cercado mede 40 m (marcação em vermelho). Sabendo que em um retângulo os lados opostos são iguais, qual a medida do seguimento que está marcado com a cor rosa? 

• $$x-40$$  

• $$x-y$$  

• $$x+40$$  

Multiple Choice

A parte em vermelho na figura ao lado representa a região que o fazendeiro irá construir o cercado. Sabendo que  ele dispões de  $$500\ m$$  de cerca para realizar a construção, qual das igualdades abaixo representa a distribuição da cerca para construção do cercado?

• $$y+x+y+40=500$$  

• $$y+x+x-40=500$$  

• $$y+x+y+\left(x-40\right)=500$$  

Multiple Choice

Isolando y na igualdade que representa a distribuição da cerca na região retangular que o fazendeiro irá construir o cercado, tem-se:

• $$y=250-x$$  

• $$y=500-2x$$  

• $$y=270-x$$  

Multiple Choice

Substituindo o valor de y na área $$A\left(x\right)=yx$$   do cercado, encontrada anteriormente,  tem-se:

• $$A\left(x\right)=\left(250-x\right)x$$   $$A\left(x\right)=250x-x^2$$  

• $$A\left(x\right)=\left(500-2x\right)x$$   $$A\left(x\right)=500x-2x^2$$  

• $$A\left(x\right)=\left(270-x\right)x\$$   $$A\left(x\right)=270x-x^2$$  

​Questões para resolução do item b

Multiple Choice

A área do cercado A(x) é uma função do segundo grau, ou seja, uma função quadrática, logo, o formato de seu gráfico é uma:

• Reta

• Parábola 

Multiple Choice

A função quadrática é expressa na forma $$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$ , sendo que os coeficientes "a, b e c" são números reais e "a" diferente de 0 (zero). O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade é determinada de acordo com o valor de a. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. Observando A(x), a concavidade da parábola estará voltada para:

• Cima

• Baixo

Multiple Choice

Para construção do gráfico, devemos encontrar as raízes da função e um dos métodos para encontrar as raízes é utilizando a fórmula de bháskara, dada por: $$x=\frac{-b\pm\sqrt[\ ]{b^2-4ac}}{2a}$$  . Sabendo disso, qual são as raízes da função A(x) (área do cercado)?

• $$x=0\ ou\ x=-270$$  

• $$x=0\ ou\ x=270$$  

Multiple Choice

Para construção do gráfico, precisamos ainda encontrar as coordenadas $$\left(x_v,\ y_v\right)$$   do vértice. Suponha que x₁ e x₂ sejam as raízes de uma função do segundo grau, o ponto médio entre as raízes será a coordenada $$x_v$$   do vértice. Já para encontrar $$y_v$$ , basta encontrar a imagem desse valor por meio da função analisada. Assim, dadas as raízes x₁ e x₂ de uma função f(x) = ax² + bx + c, temos:

$$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}$$  

$$y_v=ax_v^2+bx_v+c$$  

Desta forma, as coordenada do vértice de A(x) (área do cercado) será:

• $$x_v=135\ e\ y_v=18.225$$  

• $$x_v=18.225\ e\ y_v=135$$  

• $$x_v=-135\ e\ y_v=18.225$$  

Multiple Choice

A imagem que representa o esboço do gráfico de A(x) é:

​Questões para resolução do item c

Multiple Choice

A(x) é a função que representa a área do cercado, logo, observando o gráfico desta função, qual é o valor de x que fornece a maior área possível para o cercado?

• $$x=0$$  

• $$x=135$$  

• $$x=270$$