Замечательные линии и точки треугольника

Замечательные линии и точки треугольника

by Татьяна Боровецкая

​Замечательные линии треугольника - это:

​- средняя линия треугольника;

​- высота треугольника;

​- медиана треугольника;

​- медиатриса треугольника;

​- биссектриса треугольника

​Средняя линия треугольника

​ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника

Теорема . Если [MN] – средняя линия треугольника ABC (M – середина стороны AB, N – середина стороны BC), то [MN] || [AC] и 2MN = AC

​Медиана треугольника

​ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей ему стороны, называется медианой треугольника.

​

​

​Медиатриса треугольника

​ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Медиатрисой или серединным перпендикуляром стороны треугольника называется прямая, проходящая через середину данной стороны и перпендикулярная ей.

​

​Медиатриса треугольника

​

​

​Используя свойство медиатрисы (точки медиатрисы отрезка равноудалены от его концов), можно доказать, что медиатрисы сторон треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его вершин. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника. Следовательно, около каждого треугольника можно описать окружность.

​Высота треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ​Отрезок, определяемый вершиной треугольника и ее проекцией на несущую прямую противолежащей стороны, называется высотой треугольника.

​Свойство высоты треугольника

​Теорема Несущие прямые высот треугольника пересекаются в одной точке.

​Точка пересечения несущих прямых высот треугольника называется ортоцентром треугольника

​Биссектриса треугольника

​Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой пересечения биссектрисы и противолежащей стороны, называется биссектрисой треугольника.

​Теорема. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник.

​Треугольник и окружность

​Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Говорят также, что окружность описана около треугольника. Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Говорят также, что окружность вписана в треугольник.

​Замечательные линии и точки

​Медиатрисы, медианы, биссектрисы и высоты треугольника называются замечательними линиями треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, центр окружности, описанной около треугольника, центр тяжести треугольника и ортоцентр треугольника называются замечательными точками треугольника.